(2013•嘉定區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)被圍于由4條直線x=±a,y=±b所圍成的矩形ABCD內(nèi),任取橢圓上一點P,若
OP
=m•
OA
+n•
OB
(m、n∈R),則m、n滿足的一個等式是
m2+n2=
1
2
m2+n2=
1
2
分析:由題意可求得A(a,b),B(-a,b),設(shè)P(x0,y0),由
OP
=m•
OA
+n•
OB
(m、n∈R),可求得x0,y0,代入橢圓方程即可.
解答:解:依題意,A(a,b),B(-a,b),設(shè)P(x0,y0),
OP
=m•
OA
+n•
OB
(m、n∈R),
∴x0=ma-na,y0=mb+nb,
∵P(x0,y0)為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的一點,
∴(m-n)2+(m+n)2=1,
∴m2+n2=
1
2

故答案為:
1
2
點評:本題考查平面向量的基本定理及其意義,考查橢圓的簡單性質(zhì),考查分析與轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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1
35
1
35
(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).

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(2013•嘉定區(qū)一模)若雙曲線x2-
y2
k
=1
的焦點到漸近線的距離為2
2
,則實數(shù)k的值是
8
8

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k≤8
k≤8

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(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)寫出一個正整數(shù)m,使得
1
am+9
是數(shù)列{bn}的項;
(3)設(shè)數(shù)列{cn}的通項公式為cn=
an
an+t
,問:是否存在正整數(shù)t和k(k≥3),使得c1,c2,ck成等差數(shù)列?若存在,請求出所有符合條件的有序整數(shù)對(t,k);若不存在,請說明理由.

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