已知函數(shù)f(x)=kx,g(x)=
lnx
x

(Ⅰ)求函數(shù)g(x)=
lnx
x
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x)在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析:(Ⅰ)由g(x)=
lnx
x
,知g(x)=
1-lnx
x2
,由此能求出函數(shù)g(x)=
lnx
x
的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)由x>0,kx≥
lnx
x
,知k
lnx
x2
,令h(x)=
lnx
x2
x=
e
,知h(x)=
1-2lnx
x3
,由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解答:(本題滿分12分)
解:(Ⅰ)∵g(x)=
lnx
x
,x>0,故其定義域?yàn)椋?,+∞)
g(x)=
1-lnx
x2
,
令g′(x)>0,得0<x<e
令g′(x)<0,得x>e
故函數(shù)g(x)=
lnx
x
的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+∞).
(Ⅱ)∵x>0,kx≥
lnx
x
,∴k
lnx
x2
,
h(x)=
lnx
x2
x=
e

h(x)=
1-2lnx
x3
,
令h′(x)=0,解得x=
e

當(dāng)x在(0,+∞)內(nèi)變化時(shí),h′(x),h(x)變化如下表
x (0,
e
)
e
(
e
,+∞)
h′(x) + 0 -
h(x)
1
2e
由表知,當(dāng)時(shí)函數(shù)h(x)有最大值,且最大值為
1
2e

所以k≥
1
2e
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列命題:
(1)函數(shù)f(x)=log3(x2-2x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,1);
(2)已知P:|2x-3|>1,q:
1
x2+x-6
>0
,則p是q的必要不充分條件;
(3)命題“?x∈R,sinx≤
1
2
”的否定是:“?x∈R,sinx>”;
(4)已知函數(shù)f(x)=
3
sinωx+cosωx(ω>0)
,y=f(x)的圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π,則y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
],k∈z

(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3…(2n-1)(n∈N*)時(shí),從“k”到“k+1”的證明,左邊需增添的一個(gè)因式是2(2k+1);
其中所有正確的個(gè)數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
4x
4x+2

(1)試求f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∈N*)
的值;
(2)若數(shù)列{an}滿足an=f(0)+f(
1
n
)
+f(
2
n
)
+…+f(
n-1
n
)
+f(1)(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)若數(shù)列{bn}滿足bn=2n+1•an,Sn是數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和,是否存在正實(shí)數(shù)k,使不等式knSn>4bn對(duì)于一切的n∈N*恒成立?若存在指出k的取值范圍,并證明;若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2004•黃浦區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=k+
x
,存在區(qū)間[a,b]⊆[0,+∞),使f(x)在[a,b]上的值域仍是[a,b],求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3,g(x)=(3-k2)(logax+logxa),(其中a>1),設(shè)t=logax+logxa.
(Ⅰ)當(dāng)x∈(1,a)∪(a,+∞)時(shí),試將f(x)表示成t的函數(shù)h(t),并探究函數(shù)h(t)是否有極值;
(Ⅱ)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),若存在x0∈(1,+∞),使f(x0)>g(x0)成立,試求k的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:吉林省模擬題 題型:單選題

已知函數(shù)f(x)=+k定義域?yàn)镈,且方程f(x)=x在D上有兩個(gè)不等實(shí)根,則k的取值范圍是
[     ]
A.-1<k≤
B.≤k<1
C.k>-1
D.k<1

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