在平面直角坐標(biāo)系中,如圖,已知橢圓E:的左、右頂點(diǎn)分別為,上、下頂點(diǎn)分別為、.設(shè)直線的傾斜角的正弦值為,圓與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對稱.

(1)求橢圓E的離心率;
(2)判斷直線與圓的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若圓的面積為,求圓的方程.
(1),(2)相切,(3).

試題分析:(1)求橢圓E的離心率,只需列出關(guān)于的一個等量關(guān)系就可解出. 因為直線的傾斜角的正弦值為,所以,即,(2)判斷直線與圓的位置關(guān)系,通常利用圓心到直線距離與半徑大小比較. 因為直線的傾斜角的正弦值為,所以直線的斜率為于是的方程為:,因此中點(diǎn)到直線距離為所以直線與圓相切,又圓與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對稱,直線與圓相切.(3)由圓的面積為知圓半徑為1,所以設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,則解得.所以,圓的方程為
【解】(1)設(shè)橢圓E的焦距為2c(c>0),
因為直線的傾斜角的正弦值為,所以
于是,即,所以橢圓E的離心率  
(2)由可設(shè),,則,
于是的方程為:,
的中點(diǎn)的距離,         又以為直徑的圓的半徑,即有,
所以直線與圓相切.
(3)由圓的面積為知圓半徑為1,從而,         
設(shè)的中點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,

解得.所以,圓的方程為
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