已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求橢圓方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求△面積的最大值.
（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題、韋達(dá)定理、均值定理等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，利用橢圓的焦點(diǎn)、離心率的定義列出方程，解出基本量a和b，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，利用點(diǎn)斜式先設(shè)出直線的方程，令直線與橢圓方程聯(lián)立，消參得到關(guān)于x的方程，利用韋達(dá)定理得到，，列出和的面積，從而得到的面積表達(dá)式，將，代入，最后利用均值定理得到最大值，注意要討論最大值成立的條件.
（1）依題意有，．
可得，．
故橢圓方程為．                  ５分
（2）直線的方程為．
聯(lián)立方程組
消去并整理得． （*）
設(shè)，．
故，．
不妨設(shè)，顯然均小于．
則，
．
 
．
等號成立時，可得，此時方程（*）為 ，滿足．
所以面積的最大值為．                       13分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓的長軸長為，點(diǎn)、、為橢圓上的三個點(diǎn)，為橢圓的右端點(diǎn)，過中心，且，．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個動點(diǎn)（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系，并求證直線的斜率為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，D是它短軸上的一個端點(diǎn)，若3＝＋2，則該橢圓的離心率為(　　)
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓:，過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則直線的方程為           。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知F1、F2為橢圓的左右焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若，則= _____________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．點(diǎn)P（a，b）滿足|PF2|=|F1F2|．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若直線PF2與圓（x+1）2+=16相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=|AB|，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知P(x,y)為橢圓上一點(diǎn),F為橢圓C的右焦點(diǎn),若點(diǎn)M滿足且,則的最小值為(      )
A．B．3C．D．1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,且它們在第一象限的交點(diǎn)為P,△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|=10,雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2).則該橢圓的離心率的取值范圍是__________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、．設(shè)直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對稱．

（1）求橢圓E的離心率；
（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若圓的面積為，求圓的方程．

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