Question

19．證明：如果f（x）為（-a，a）內(nèi)可導(dǎo)的偶（奇）函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)f′（x）必為（-a，a）內(nèi)的奇（偶）函數(shù)．

Answer 1

分析 證明f′（x）是（-a，a）內(nèi)的偶函數(shù)即證f′（-x）=f′（x），而函數(shù)f（x）沒有解析式，故想到運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行證明．

解答 證明：對(duì)任意x∈（-a，a），f′（-x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（-x+△x）-f（-x）}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f[-（x-△x）]-f（-x）}{△x}$
由于f（x）為奇函數(shù)，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），
于是f′（-x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{-f（x-△x）+f（x）}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（x-△x）-f（x）}{-△x}$=f′（x）
因此f′（-x）=f′（x）即f′（x）是（-a，a）內(nèi)的偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的定義以及函數(shù)奇偶性的判斷．