Question

設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠A為銳角，已知

m

=（sin2A，-2

3

），

n

=（1，cos²A），且

m

⊥

n

．
（1）求∠A的大小；
（2）若a=2，求b+c的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=0，化為sin(2A-

π

3

)=

3

2

，由于A為銳角，(2A-

π

3

)∈(-

π

3

，

2π

3

)，即可得出；
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=sin2A-2

3

cos²A=sin2A-

3

(1+cos2A)=2sin(2A-

π

3

)-

3

=0．
∴sin(2A-

π

3

)=

3

2

，
∵A為銳角，∴(2A-

π

3

)∈(-

π

3

，

2π

3

)，
∴2A-

π

3

=

π

3

，
解得A=

π

3

．
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=（b+c）²-3bc≥(b+c)2-3(

b+c

2

)2，
化為（b+c）²≤16，
∴b+c≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、兩角和差的正弦公式、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．