Question

平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn),_____________________.(先在直線上填上一個(gè)結(jié)論,然后再解答)

Answer 1

構(gòu)建問題：求證：這n個(gè)圓把平面分成n²-n+2個(gè)部分.

思路分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題，主要是搞清楚當(dāng)n=k+1時(shí)比當(dāng)n=k時(shí)，分點(diǎn)增加了多少，區(qū)域增加了幾塊，是怎樣增加的.本題中第k+1個(gè)圓被原來的k個(gè)圓分成了2k條弧，而每一條弧把它所在部分分成了兩塊，此時(shí)共增加了2k個(gè)部分，問題就得到了解決.

證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩部分，1²-1+2=2，故命題成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立(k∈N^*)，

即k個(gè)圓把平面分成k²-k+2個(gè)部分.

當(dāng)n=k+1時(shí)，這k+1個(gè)圓中的k個(gè)圓把平面分成了k²-k+2個(gè)部分，第k+1個(gè)圓被前k個(gè)圓分成2k條弧，每條弧把它所在的部分分成了兩塊，這時(shí)共增加了2k個(gè)部分，即k+1個(gè)圓把平面分成(k²-k+2)+2k=(k+1)²-(k+1)+2個(gè)部分，即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

由(1)(2)知，對一切n∈N^*，命題都成立.