Question

3．某校開展“讀好書，好讀書”活動，要求本學(xué)期每人至少讀一本課外書，該校高一共有100名學(xué)生，他們本學(xué)期讀課外書的本數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．
（ I）求高一學(xué)生讀課外書的人均本數(shù)；
（Ⅱ）從高一學(xué)生中任意選兩名學(xué)生，求他們讀課外書的本數(shù)恰好相等的概率；
（Ⅲ）從高一學(xué)生中任選兩名學(xué)生，用ζ表示這兩人讀課外書的本數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量ζ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eζ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圖知讀課外書1本、2本、3本的學(xué)生人數(shù)分別為10，50和40，由此能求出高一學(xué)生讀課外書的人均本數(shù)．
（Ⅱ）從高一學(xué)生中任選兩名學(xué)生，利用互斥事件概率加法公式能求出他們讀課外書的本數(shù)恰好相等的概率．
（Ⅲ）從高一學(xué)生中任選兩名學(xué)生，用ζ表示這兩人讀課外書的本數(shù)之差的絕對值，則ζ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ζ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eζ．

解答 解：（Ⅰ）由圖知讀課外書1本、2本、3本的學(xué)生人數(shù)分別為10，50和40，
∴高一學(xué)生讀課外書的人均本數(shù)為：
$\frac{1×10+2×50+3×40}{100}$=2.3．
（Ⅱ）從高一學(xué)生中任選兩名學(xué)生，他們讀課外書的本數(shù)恰好相等的概率為：
p=$\frac{{C}_{10}^{2}+{C}_{30}^{2}+{C}_{40}^{2}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{41}{99}$．
（Ⅲ）從高一學(xué)生中任選兩名學(xué)生，
記“這兩人中一人讀1本書，另一人讀2本書”為事件A，
“這兩人中一人讀2本書，另一人讀3本書”為事件B，
“這兩人中一人讀1本書，另一人讀3本書”為事件C，
從高一學(xué)生中任選兩名學(xué)生，用ζ表示這兩人讀課外書的本數(shù)之差的絕對值，
則ζ的可能取值為0，1，2，
P（ζ=0）=$\frac{{C}_{10}^{2}+{C}_{30}^{2}+{C}_{40}^{2}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{41}{99}$，
P（ζ=1）=P（A）+P（B）=$\frac{{C}_{10}^{1}{C}_{50}^{1}}{{C}_{100}^{2}}$+$\frac{{C}_{50}^{1}{C}_{40}^{1}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{50}{99}$，
P（ζ=2）=P（C）=$\frac{{C}_{10}^{1}{C}_{40}^{1}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{8}{99}$，
∴ζ的分布列為：

ζ	0	1	2
P	$\frac{41}{99}$	$\frac{50}{99}$	$\frac{8}{99}$

E（ζ）=$0×\frac{41}{99}+1×\frac{50}{99}+2×\frac{8}{99}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．