【題目】已知平面上一個圓可以將平面分成兩個部分，兩個圓最多可以將平面分成4個部分，設(shè)平面上個圓最多可以將平面分成個部分．

求，的值；

猜想的表達(dá)式并證明；

證明：．

【答案】（1）8，14；（2），證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

由題意可知：，;猜想并用數(shù)學(xué)歸納法證明可得解;

證明：討論當(dāng)或2或3時，，且時，用數(shù)列單調(diào)性的證明方法定義法證明即可.

由已知有：，，

，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)時，結(jié)論成立；

假設(shè)時，結(jié)論成立，即平面上k個圓最多可以將平面分成個部分，

那么當(dāng)時，第個圓與前k個圓最多有2k個交點，即此第個圓最多被這2k個交點分成2k條圓弧段，由于每增加一個圓弧段，可將原來的區(qū)域分成兩個區(qū)域，因此第個圓使平面增加了2k個區(qū)域，

所以，

綜合得：即平面上n個圓最多可以將平面分成個部分，

即命題得證

證明：當(dāng)或2或3時，，

即，

且時，

設(shè)，

則，

設(shè)，

因為，所以，所以

所以時，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，所以，

所以，

綜合得：．

故不等式得證．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四棱錐中,底面是邊長為的菱形,側(cè)面底面,60°, , 是中點,點在側(cè)棱上.

（Ⅰ）求證: ;

（Ⅱ）是否存在,使平面 平面？若存在,求出,若不存在,說明理由.

（Ⅲ）是否存在,使平面？若存在,求出.若不存在,說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱錐O﹣ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點．

（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；

（2）求直線BE和平面ABC的所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲乙二人進(jìn)行定點投籃比賽，已知甲、乙兩人每次投進(jìn)的概率均為，兩人各投一次稱為一輪投籃．

求乙在前3次投籃中，恰好投進(jìn)2個球的概率；

設(shè)前3輪投籃中，甲與乙進(jìn)球個數(shù)差的絕對值為隨機(jī)變量，求的分布列與期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】根據(jù)下列條件解三角形，有兩解的有（ ）

A.已知a，b＝2，B＝45°B.已知a＝2，b，A＝45°

C.已知b＝3，c，C＝60°D.已知a＝2，c＝4，A＝45°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求，判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明.

（2）對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以下命題為假命題的是(　　)

A. “若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實數(shù)根”的逆命題

B. “面積相等的三角形全等”的否命題

C. “若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題

D. “若A∪B＝B，則AB”的逆否命題

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形， , .

（Ⅰ）若是的中點，求證： 平面；

（Ⅱ）若， ，求三棱錐的高.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年6月14日，第二十一屆世界杯尼球賽在俄羅斯拉開了帷幕，某大學(xué)在二年級作了問卷調(diào)查,從該校二年級學(xué)生中抽取了人進(jìn)行調(diào)查,其中女生中對足球運動有興趣的占，而男生有人表示對足球運動沒有興趣.

（1）完成列聯(lián)表,并回答能否有的把握認(rèn)為“對足球是否有興趣與性別有關(guān)”？

有興趣

沒有興趣

合計

男

女

合計

（2）若將頻率視為概率,現(xiàn)再從該校二年級全體學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣的方法每飲抽取名學(xué)生,抽取次，記被抽取的名學(xué)生中對足球有興趣的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:

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