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3.已知數列{an}的通項公式為an=1n+1n2,其前n項和為Sn,
(1)求S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的值;
(2)用數學歸納法證明(1)中所猜想的結論.

分析 (1)根據已知的遞推關系,可以構造出我們熟悉的等差數列.再用等差數列的性質進行求解.
(2)利用數學歸納法的證明步驟,證明即可.

解答 解:(1)S1=1212=1,S2=1-4=-3,S3=1-4+9=6,S4=1-4+9-16=-10,(算對一個1分)…(4分)
猜想:Sn=1n+1nn+12nN…(6分)
(2)由(1)知即證明Sn=1n+1nn+12nN
①當n=1時,S1=11+111+12=1,猜想成立; …(7分)
②假設n=k(k≥1)時猜想成立,即Sk=1k+1kk+12…(9分)
則  n=k+1時Sk+1=Sk+ak+1=1k+1kk+12+1k+1+1k+12…(10分)
=1k+2[kk+12+k+12]=1k+2k+1k+22=1k+1+1k+1[k+1+1]2…(12分)
所以,n=k+1時,猜想也成立;  …(13分)
由①、②可得Sn=1n+1nn+12nN…(14分)

點評 構造數列是對已知數列的遞推關系式變形后發(fā)現(xiàn)規(guī)律,創(chuàng)造一個等差或等比數列,借此求原數列的通項公式,是考查的重要內容.同時考查數學歸納法的應用,考查邏輯推理能力.

練習冊系列答案
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