定義,,.

（1）比較與的大小；

（2）若，證明：；

（3）設(shè)的圖象為曲線，曲線在處的切線斜率為，若，且存在實數(shù)，使得，求實數(shù)的取值范圍.

 

【答案】

（1）；（2）詳見解析；（3）實數(shù)的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)定義求出和，進而比較出和的大��；（2）先利用定義求出和的表達式，，利用分析法將所要證明的不等式等價轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，問題等價轉(zhuǎn)化利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（3）先利用定義求出函數(shù)的解析式，并求出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，從而得到的表達式，結(jié)合對數(shù)運算將問題等價轉(zhuǎn)化為不等式在有解，結(jié)合導(dǎo)數(shù)對函數(shù)的極值點是否在區(qū)間進行分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間的最值，利用最值進行分析，從而求出參數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）由定義知

∴,∴.

（2）

要證，只要證

∵

令，則，

當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減.

∵  ∴，即

∴不等式成立.

（3）由題意知：，且

于是有 在上有解.

又由定義知 即

∵  ∴ ，∴,即

∴在有解.

設(shè)

①當(dāng)即時，≥. 當(dāng)且僅當(dāng)時，

∴ 當(dāng)時，   ∴

②當(dāng)≤時，即≤時，在上遞減，

∴.  ∴

整理得：，無解

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.

考點：1.新定義；2.利用分析法證明不等式；3.參數(shù)分離法；4.基本不等式

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1．
（1）若橢圓C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程；若在橢圓Cb上存在兩點M、N關(guān)于直線y=x+1對稱，求實數(shù)b的取值范圍？
（3）如圖：直線y=x與兩個“相似橢圓”M：
x2
a2
+
y2
b2
=1和Mλ：
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分別交于點A，B和點C，D，試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F（非橢圓頂點），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)給出下列四個命題：
①已知函數(shù)y=2sin（x+φ）（0＜φ＜π）的圖象如圖所示，則?=
π
6
或
5
6
π；
②已知O、A、B、C是平面內(nèi)不同的四點，且
OA
=α
OB
+β
OC
，則α+β=1是A、B、C三點共線的充要條件；
③若數(shù)列an恒滿足
a
2
n+1
a
2
n
=p（p為正常數(shù)，n∈N*），則稱數(shù)列an是“等方比數(shù)列”．根據(jù)此定義可以斷定：若數(shù)列an是“等方比數(shù)列”，則它一定是等比數(shù)列；
④求解關(guān)于變量m、n的不定方程3n-2=2m-1（n，m∈N*），可以得到該方程中變量n的所有取值的表達式為n=
1
12
(4k+8)
（k∈N*）．
其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A={x|2≤x≤π，x∈R}，定義在集合A上的函數(shù)y=logax（a＞0且a≠1）的最大值比最小值大1，則底數(shù)a的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R，滿足f（a•b）=af（b）+bf（a）．又已知f(2)=2，an=
f(2n)
n
，bn=
f(2n)
2n
(n∈N*)，考查下列結(jié)論：①f（0）=0；②f（-1）=-1；③a2是a1，a3的等比中項；④b2是b1，b3的等差中項．其中正確的是
①③④
①③④
．（填上所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：若
h(x)
xk
在[k，+∞]上為增函數(shù)，則稱h（x）為“k次比增函數(shù)”，其中k∈N*，已知f（x）=eax．
（Ⅰ）若f（x）是“1次比增函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
2
時，求函數(shù)g（x）=
f(x)
x
在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（Ⅲ）求證：
n
i=1
1
i•(
e
)i
＜
7
2e
．

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