Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄
（2）求證：數(shù)列{a_2n}與{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，可求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）由a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，可得

an+2

an

=

1

2

，根據(jù)等比數(shù)列的定義判定出數(shù)列{a_2n}與{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比數(shù)列．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，
∴a₁=1，a₂=

1

2

，a₃=

1

2

，a₄=

1

4

；
（2）證明：∵a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，
∴

an+2

an

=

1

2

，
∴數(shù)列a₁，a₃，…a_2n-1，是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列；
數(shù)列a₂，a₄，…，a_2n，是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．

點(diǎn)評：本題主要考查了等比關(guān)系的確定．解題的關(guān)鍵是對等比數(shù)列基礎(chǔ)知識點(diǎn)的熟練掌握．