Question

13．設(shè)α、β是方程x²-ax+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，試分析a＞1且b＞1是兩根α、β均大于1的什么條件？

Answer 1

分析 根據(jù)韋達(dá)定理表示出a，b，設(shè)出判斷條件和結(jié)論，根據(jù)題意分別證明．

解答 解：根據(jù)韋達(dá)定理得：a=α+β，b=αβ，
判定條件是p：a＞1且b＞1，
結(jié)論是q：α＞1且β＞1；（注意：條件p中，a，b需滿足的大前提△=a²-4b≥0）
（1）由 α＞1且β＞1，得a=α+β＞2＞1，b=αβ＞1，
∴q⇒p；
（2）為了證明p⇒q，可以舉出反例：取α=4，β=$\frac{1}{2}$，
它滿足a=α+β=4+$\frac{1}{2}$＞1，b=αβ=4×$\frac{1}{2}$=2＞1，但q不成立
上述討論可知：a＞1，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分條件

點(diǎn)評(píng) 本題考查了韋達(dá)定理，考查充分必要條件，是一道中檔題．