Question

國營二三八廠打算在2010年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用t（t≥0）萬元滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件，已知2010年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍，（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分）．
（1）將該廠家2010年該廠產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用t萬元的函數(shù)；
（2）該廠家2010年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家所獲利潤最大？

Answer 1

解：（1）由題意可知當(dāng)t=0時(shí)，x=1（萬件），
∴1=4﹣kk=3．
∴．每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×（元），
∴2010年的利潤y=x·（1.5×）﹣（6+12x+t）
=3﹣t+6x=27﹣t﹣（t≥0）．
（2）∵t≥0時(shí)，2t+1≥1，令2t+1=m，則m≥1
∴2010年的利潤y=27.5﹣≤27.5﹣6=21.5，
當(dāng)且僅當(dāng)m=3（萬元）時(shí)，y_max=21.5（萬元）．
所以當(dāng)該廠家2010年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大．