Question

國營二三八廠打算在2010年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用t（t≥0）萬元滿足x=4-

k

2t+1

（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件，已知2010年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍，（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分）．
（1）將該廠家2010年該廠產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；
（2）該廠家2010年的促銷費用投入多少萬元時，廠家所獲利潤最大？

Answer 1

分析：（1）由題意可知當t=0時，x=1由滿足x=4-

k

2t+1

，即可得出k值，從而得出每件產(chǎn)品的銷售價格，從而得出2010年的利潤的表達式即可；
（2）對于（1）中求得的解析式，根據(jù)其中兩項之積為定值結(jié)合利用基本不等式此函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x值，從而解決該廠家2010年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

解答：解：（1）由題意可知當t=0時，x=1（萬件），
∴1=4-k⇒k=3．（2分）
∴x=4-

3

2t+1

．
每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×

6+12x

x

（元），（4分）
∴2010年的利潤y=x•（1.5×

6+12x

x

）-（6+12x+t）（6分）
=3-t+6x=27-t-

18

2t+1

（t≥0）．（8分）
（2）∵t≥0時，2t+1≥1，令2t+1=m，則m≥1（12分）
∴2010年的利潤y=27.5-(

m

2

+

18

m

)≤27.5-6=21.5，當且僅當m=6（萬元）時，等號成立；
y_max=21.5（萬元）．（15分）
所以當該廠家2010年的促銷費用投入6萬元時，廠家的利潤最大．（15分）

點評：本題的考點是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查學生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．