Question

6．已知兩個(gè)不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$兩組向量$\overrightarrow{{x}_{1}}$、$\overrightarrow{{x}_{2}}$、$\overrightarrow{{x}_{3}}$、$\overrightarrow{{x}_{4}}$、$\overrightarrow{{x}_{5}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}$、$\overrightarrow{{y}_{2}}$、$\overrightarrow{{y}_{3}}$、$\overrightarrow{{y}_{4}}$、$\overrightarrow{{y}_{5}}$均由2個(gè)$\overrightarrow{a}$和3個(gè)$\overrightarrow$排列而成．記S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$+$\overrightarrow{{x}_{5}}$•$\overrightarrow{{y}_{5}}$，S_min表示S所有可能取值中的最小值．則下列說法正確的有幾個(gè)（　　）
①S有5個(gè)不同的值．    
②若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則S_min與$|{\overrightarrow a}$|無關(guān)
③若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$則S_min與$|{\overrightarrow b}$|無關(guān)．
④若$|{\overrightarrow b}|＞4|{\overrightarrow a}$|，則S_min＞0
⑤若|$\overrightarrow b|=2|\overrightarrow a|，S{\;}_{min}=8|\overrightarrow a{|^2}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由條件即可得出$S=2{\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow}^{2}$，或${\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，或${\overrightarrow}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，先可判斷①錯(cuò)誤，而$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$時(shí)，便可得出${S}_{min}={\overrightarrow}^{2}$，從而判斷出②正確，$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$時(shí)，可設(shè)$\overrightarrow=k\overrightarrow{a}$，從而可判斷③錯(cuò)誤，而$|\overrightarrow|=4|\overrightarrow{a}|$時(shí)，可以求出${S}_{min}=16{\overrightarrow{a}}^{2}+16{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞＞0$，從而判斷出④正確，而$|\overrightarrow|=2|\overrightarrow{a}|$，且${S}_{min}=8|\overrightarrow{a}{|}^{2}$時(shí)，可以求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角為$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$，從而判斷說法⑤錯(cuò)誤，從而找出正確選項(xiàng)．

解答 解：根據(jù)條件得，$S=2{\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow}^{2}$，或${\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，或${\overrightarrow}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$；
∴①錯(cuò)誤；
$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$時(shí)，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，∴${S}_{min}={\overrightarrow}^{2}$；
即S_min與$|\overrightarrow{a}|$無關(guān)；
∴②正確；
若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，設(shè)$\overrightarrow{a}=k\overrightarrow$，則S=$（2{k}^{2}+3）{\overrightarrow}^{2}$，或$（{k}^{2}+2+2k）{\overrightarrow}^{2}$，或$（1+4k）{\overrightarrow}^{2}$；
∴S_min與$|\overrightarrow|$有關(guān)；
∴③錯(cuò)誤；
若$|\overrightarrow|＞4|\overrightarrow{a}|$，當(dāng)$|\overrightarrow|=4|\overrightarrow{a}|$時(shí)，S=$50{\overrightarrow{a}}^{2}$，或${\overrightarrow{a}}^{2}+32{\overrightarrow{a}}^{2}+8{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$，或$16{\overrightarrow{a}}^{2}+16{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$；
∴S_min＞0；
∴④正確；
若$|\overrightarrow|=2|\overrightarrow{a}|$，則$S=14{\overrightarrow{a}}^{2}$，或$8{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}{+2\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$，或$4{\overrightarrow{a}}^{2}+8{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$；
∴${S}_{min}=8|\overrightarrow{a}{|}^{2}$時(shí)，${\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=0$，或$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為$\frac{2π}{3}$或$\frac{π}{3}$；
∴⑤錯(cuò)誤；
故說法正確的有2個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量垂直的充要條件，共線向量基本定理，以及向量夾角的范圍．