Question

已知fx）=-x²+6xcosα-16cosβ，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，均有f（3-cost）≥0，f（1+2^-|t|）≤0恒成立．
（1）求證：f（4）≥0，f（2）=0；
（2）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用特殊值法，得出f（3-cosπ）=f（4）≥0，f（2）=0；
（2）根據(jù)題意，求出cosα，cosβ的值，即得函數(shù)的解析式；

解答： 解：（1）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)t，均有f（3-cost）≥0，f（1+2^-|t|）≤0恒成立；
令t=π，得f（3-cosπ）≥0，即f（4）≥0；
令t=0，得f（3-cos0）≥0，∴f（2）≥0，
又f（1+2^-|0|）≤0，∴f（2）≤0，
即f（2）=0；                                      
（2）由（1）知，f（2）=-4+12cosα-16cosβ=0，
∴4cosβ=3cosα-1…①；
f（4）=-16+24cosα-16cosβ≥0，
∴4cosβ≤6cosα-4…②；
把①代入②，得
cosα≥1，
∴cosα=1，cosβ=

1

2

，
∴f（x）=-x²+6x-8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)解析式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了利用特殊值法解決問(wèn)題的思想，是綜合題目．