Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時f（x）=log 

1

2

（-x+1）
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的解析式；指出f（x）的單調(diào)區(qū)間并說明在每一單調(diào)區(qū)間上它是增函數(shù)還是減函數(shù)（不需要證明，但要寫出判斷過程）；
（Ⅲ）若f（a-1）＜-1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得，f（1）=f（-1）=log 

1

2

（1+1），計算求得結(jié)果．
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，-x＜0，由已知求得f（x）的解析式，可得f（x）在R上的解析式，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性
（Ⅲ）由f（a-1）＜-1，可得①

a-1＞0 log 1 2 (a-1+1)＜-1

，或 ②

a-1≤0 log 1 2 [-(a-1)+1]＜-1

．
分別解①、②，求得a的范圍，再取并集即得所求．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得，f（1）=f（-1）=log 

1

2

（1+1）=-1．
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，-x＜0，f（-x）=log 

1

2

（x+1）=f（x），
故有f（x）=

log 1 2 (-x+1) ，x≤0 log 1 2 (x+1) ，x＞0

，
當(dāng)x＞0 時，f（x）=log

1

2

(x+1) 是減函數(shù)；當(dāng)x≤0時，f（x）=log

1

2

(-x+1) 是增函數(shù)．
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，在（-∞，0]上是增函數(shù)．
（Ⅲ）∵f（a-1）＜-1，∴①

a-1＞0 log 1 2 (a-1+1)＜-1

，或 ②

a-1≤0 log 1 2 [-(a-1)+1]＜-1

．
解①可得a＞2，解②可得a＜0．
綜上可得，a的范圍為（2，+∞）∪（-∞，0）．

點評：本題主要考查求函數(shù)的解析式，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題