【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，證明：；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）依題意，只要證，記，求得，分和討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到結(jié)論；

（Ⅱ）由 ，記，，（1）當(dāng)時(shí)，得到存在唯一，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，再分和和三種情形討論，得到地產(chǎn)是有一個(gè)極大值點(diǎn) 和一個(gè)極小值點(diǎn)，（2）當(dāng)時(shí)，顯然在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，綜上所述即可得到結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）依題意，因?yàn)?/span>，只要證，

記，，則.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以，即，原不等式成立.

（Ⅱ）

，

記，.

（1）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，，

所以存在唯一，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，

①若，即時(shí)，對(duì)任意，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn).

②若，即時(shí)，此時(shí)當(dāng)或時(shí)，.即在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.

此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)-1.

③若，即時(shí)，此時(shí)當(dāng)或時(shí)，.即在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.

此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)-1和一個(gè)極小值點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，，所以，顯然在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

綜上可得：①當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)A（l，2）在函數(shù)f（x）=ax3的圖象上，則過(guò)點(diǎn)A的曲線C：y=f（x）的切線方程是（　　）

A. 6x﹣y﹣4=0 B. x﹣4y+7=0

C. 6x﹣y﹣4=0或x﹣4y+7=0 D. 6x﹣y﹣4=0或3x﹣2y+1=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線E：的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）求過(guò)點(diǎn)、，且與相切的圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線E于兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，且點(diǎn)與點(diǎn)不重合，求證：直線過(guò)定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，其前項(xiàng)和為，下列命題中正確的是______.（寫(xiě)出全部正確命題的序號(hào)）

（1）等比數(shù)列單調(diào)遞增的充要條件是，且；

（2）數(shù)列：，，，……，也是等比數(shù)列；

（3）；

（4）點(diǎn)在函數(shù)（，為常數(shù)，且，）的圖像上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)方式為：弧田面積=（弦×矢+矢2），弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑等于米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是

A. 平方米 B. 平方米

C. 平方米 D. 平方米

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如果存在常數(shù)（），對(duì)于任意，都有成立，那么稱該函數(shù)為“函數(shù)”.

（1）分別判斷函數(shù)，是否為“函數(shù)”，若不是，說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)是“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）記所有定義在上的單調(diào)函數(shù)組成的集合為，所有函數(shù)組成的集合為，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】【選修4－5：不等式選講】

已知函數(shù)f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－3｜．

（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：

（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＜a的解集為（b， ），求a＋b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下面六個(gè)命題中，其中正確的命題序號(hào)為______________.

①函數(shù)的最小正周期為；

②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；

③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；

④函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；

⑤將函數(shù)向右平移（）個(gè)單位所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小正值為；

⑥關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根中，一個(gè)根比1大，一個(gè)根比-1小，則的取值范圍為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校初一年級(jí)全年級(jí)共有名學(xué)生，為了拓展學(xué)生的知識(shí)面，在放寒假時(shí)要求學(xué)生在假期期間進(jìn)行廣泛的閱讀，開(kāi)學(xué)后老師對(duì)全年級(jí)學(xué)生的閱讀量進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到了如圖所示的頻率分布直方圖（部分已被損毀），統(tǒng)計(jì)人員記得根據(jù)頻率直方圖計(jì)算出學(xué)生的平均閱讀量為萬(wàn)字.根據(jù)閱讀量分組按分層抽樣的方法從全年級(jí)人中抽出人來(lái)作進(jìn)一步調(diào)查.

（1）從抽出的人中選出人來(lái)?yè)?dān)任正副組長(zhǎng)，求這兩個(gè)組長(zhǎng)中至少有一人的閱讀量少于萬(wàn)字的概率；

（2）為進(jìn)一步了解廣泛閱讀對(duì)今后學(xué)習(xí)的影響，現(xiàn)從抽出的人中挑選出閱讀量低于萬(wàn)字和高于萬(wàn)字的同學(xué)，再?gòu)闹须S機(jī)選出人來(lái)長(zhǎng)期跟蹤調(diào)查，求這人中來(lái)自閱讀量為萬(wàn)到萬(wàn)字的人數(shù)的概率分布列和期望值.

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