Question

已知圓C₁：x²+y²-2x-4y+m=0，直線x+2y-4=0與圓C₁相交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑作圓C₂
（Ⅰ）求圓C₂的圓心C₂坐標(biāo)；
（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)O的直線l與圓C₁、圓C₂都相切，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出圓心的坐標(biāo)，過(guò)圓心C₁且與直線x+2y-4=0垂直的直線方程為y=2x，與直線x+2y-4=0聯(lián)立求得交點(diǎn)即圓心的坐標(biāo)，根據(jù)圓C₂的半徑求得圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程圓C₁的半徑為r₁，圓C₂的半徑為r₂．C₁到直線y=kx的距離為d₁，C₂到y(tǒng)=kx的距離為d₂．直線l與圓C₁、圓C₂都相切可推斷出d₁=r₁，d₂=r₂．利用勾股定理建立等式求得k，則直線l的方程可得．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓心C₂坐標(biāo)為（x，y）．，
過(guò)圓心C₁（1，2）且與直線x+2y-4=0垂直的直線方程為y=2x，
∴，解得
又因?yàn)閳AC₂的半徑為
∴圓C₂的方程為．

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx，圓C₁的半徑為r₁，圓C₂的半徑為r₂．C₁到直線y=kx的距離為d₁，C₂到y(tǒng)=kx的距離為d₂．
則d₁=r₁，d₂=r₂．
由圖形知，r₁²=r₂²+C₁C₂²，
∴
∴，
解得：．
∴直線l的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系及其判定．解題的關(guān)鍵是利用圓心與圓心的距離，圓心與直線的距離來(lái)判定．