Question

已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）設是函數(shù)的導函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（2）若，函數(shù)在區(qū)間內有零點，求的取值范圍。

 

Answer 1

（1）當時，g(x)在[0，1]上的最小值是1－b；當時，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b;當時，g(x)在[0，1]上的最小值是e－2a－b.（2）(e－2，1).

【解析】

試題分析：（1）先求出的導函數(shù)即為的解析式，再求出的導函數(shù)，研究的值在[0,1]上的正負變化情況，得出的單調性，根據(jù)單調性求出在[0,1]上的最小值，因導數(shù)函數(shù)參數(shù)，故需要分類討論；（2）設函數(shù)在區(qū)間內有零點，利用=0，判定出在[0,1]間的單調性，從而得出在[0,1]間的正負變化情況，得出在[0,1]上零點的個數(shù)，結合（1）的結論，得出在零點所在區(qū)間的端點的正負，列出關于的不等式，求出的范圍.

試題解析：（1）由，有

所以

因此，當x∈[0，1]時，

當時，，所以g(x)在[0，1]上單調遞增

因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b

當時，，所以g(x)在[0，1]上單調遞減

因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b

當時，令g'(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，ln(2a)]上單調遞減，在區(qū)間[ln(2a)，1]上單調遞增

于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b

綜上所述，當時，g(x)在[0，1]上的最小值是1－b；

當時，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b;

當時，g(x)在[0，1]上的最小值是e－2a－b.

（2）設x0為f(x)在區(qū)間(0，1)內的一個零點，則由f(0)＝f(x0)＝0可知

f(x)在區(qū)間(0，x0)上不可能單調遞增，也不可能單調遞減，

則g(x)不可能恒為正，也不可能恒為負.

故g(x)在區(qū)間(0，x0)內存在零點，

同理，g(x)在區(qū)間(x0，1)內存在零點

所以，g(x)在區(qū)間(0，1)內至少有兩個零點

由（1）可知，當時，g(x)在[0，1]上單調遞增，故g(x)在(0，1)內至多有一個零點，

當時，g(x)在[0，1]上單調遞減，故g(x)在(0，1)內至多有一個零點，

所以，

此時，g(x)在區(qū)間[0，ln(2a)]上單調遞減，在[ln(2a)，1]上單調遞增

因此，x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有

g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0

由f(1)＝0有a＋b＝e－1＜2有

g(0)＝1－b＝a－e＋2＞0，g(1)＝e－2a－b＝1－a＞0

解得e－2＜a＜1

當e－2＜a＜1時，g(x)在區(qū)間[0，1]內有最小值g(ln(2a))，

若g(ln(2a))≥0，則g(x)≥0(x∈[0，1])

從而f(x)在區(qū)間[0，1]上單調遞增，這與f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))＜0

又g(0)＝a－e－2＞0，g(1)＝1－a＞0

故此時g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)內各有一個零點x1和x2，

由此可知，f(x)在[0，x1]上單調遞增，在[x1，x2]上單調遞減，在[x2，1]上單調遞增.

所以f(x1)＞f(0)＝0，f(x2)＜f(0)＝0

故f(x)在(x1，x2)內有零點

綜上所述，a的取值范圍是(e－2，1).

考點：導數(shù)的運算,導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，函數(shù)的零點，推理論證能力，運算求解能力，創(chuàng)新意識，