Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=

2

，CD=

2

2

，BC=1．將ABCD（及其內(nèi)部）繞AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成一個幾何體．
（1）求該幾何體的體積V；
（2）設(shè)直角梯形ABCD繞底邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)角θ（∠CBC′=θ∈（0，π））至ABC′D′，問：是否存在θ，使得AD′⊥DC′．若存在，求角θ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角梯形ABCD作DE⊥AB，則作DE是圓錐的底面半徑，AE是它的高，而BC和CD是圓柱的半徑和母線，根據(jù)題意分別求出并代入椎體和柱體的體積公式，進行求和求出旋轉(zhuǎn)體得體積；
（2）先假設(shè)存在θ滿足題意，再根據(jù)AD′⊥DC′和余弦定理進行求解，求出對應(yīng)一個角的余弦值大于0，與線線垂直矛盾，故證出假設(shè)不成立即不存在．

解答：解：（1）如圖，
作DE⊥AB，則由已知，得DE=1，AE=AB-EB=

2

2

，
∴V=

1

3

π×12×

2

2

+π×12×

2

2

=

2 2

3

π．
（2）取BA的中點E，連DE，C′E，則∠DC′E（或其補角）就是異面直線AD′與DC′所成的角．
在△DC′E中，EC′=AD′=

6

2

，DE=CB=1，CC^'2=1+1-2cosθ=2-2cosθDC′2=DC2+CC′2=

1

2

+(1+1-2cosθ)=

5

2

-2cosθ，
∴cos∠DC′E=

DC′2+EC′2-DE2

2EC′•C′D

=

3-2cosθ

2EC′•C′D

＞0，
故不存在θ，使得AD′⊥DC′．

點評：本題是有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的綜合題，需要根據(jù)題意求出幾何體的幾何元素的長度，再求出它的體積；對存在性問題的處理辦法，一般是先假設(shè)存在再根據(jù)題意列出關(guān)系，證明結(jié)果是否有矛盾即可，考查了分析和解決問題的能力．