已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且對任意的n∈N*,都有a1b1+a2b2+a3b3+···+anbn=n·2n+3.
(1)若{bn}的首項為4,公比為2,求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn;
(2)若a1=8.
①求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
②試探究:數(shù)列{bn}中是否存在某一項,它可以表示為該數(shù)列中其它r(r∈N,r≥2)項的和?若存在,請求出該項;若不存在,請說明理由.
(1)Sn=2n+2+n2+3n-4(2)①an=4n+4,bn=2,②不存在
解析試題分析:(1)條件“a1b1+a2b2+a3b3+···+anbn”實質(zhì)為數(shù)列前n項的和,所以按已知求方法進(jìn)行化簡.∵a1b1+a2b2+a3b3+···+anbn=n·2n+3∴a1b1+a2b2+a3b3+···+an-1bn-1=(n-1)·2n+2 (n≥2) 兩式相減得:anbn=n·2n+3-(n-1)·2n+2=(n+1)·2n+2 (n≥2) 而當(dāng)n=1時,a1b1=24適合上式,∴anbn=(n+1)·2n+2 (n∈N*)∵{bn}是首項為4、公比為2的等比數(shù)列 ∴bn=2n+1∴an=2n+2,∴{an+bn}的前n項和Sn=+=2n+2+n2+3n-4(2)①由(1)有anbn=(n+1)·2n+2,設(shè)an=kn+b,則bn=∴bn-1= (n≥2) 設(shè){bn}的公比為q,則==q對任意的n≥2恒成立,即k(2-q)n2+b(2-q)n+2(b-k)=0對任意的n≥2恒成立,∴又∵a1=8,∴k+b=8∴k=b=4,∴an=4n+4,bn=2n②存在性問題,一般從假設(shè)存在出發(fā),有解就存在,無解就不存在.本題從范圍角度說明解不存在.
解:(1)∵a1b1+a2b2+a3b3+···+anbn=n·2n+3
∴a1b1+a2b2+a3b3+···+an-1bn-1=(n-1)·2n+2 (n≥2)
兩式相減得:anbn=n·2n+3-(n-1)·2n+2=(n+1)·2n+2 (n≥2)
而當(dāng)n=1時,a1b1=24適合上式,∴anbn=(n+1)·2n+2 (n∈N*)
∵{bn}是首項為4、公比為2的等比數(shù)列 ∴bn=2n+1
∴an=2n+2,∴{an+bn}的前n項和Sn=+=2n+2+n2+3n-4
(2)①設(shè)an=kn+b,則bn=,∴bn-1= (n≥2)
設(shè){bn}的公比為q,則==q對任意的n≥2恒成立,
即k(2-q)n2+b(2-q)n+2(b-k)=0對任意的n≥2恒成立,
∴ ∴ 又∵a1=8,∴k+b=8∴k=b=4,∴an=4n+4,bn=2n
②假設(shè)數(shù)列{bn}中第k項可以表示為該數(shù)列中其它r項的和,即,從而,易知k≥tr+1
∴k<tr+1,此與k≥tr+1矛盾,從而這樣的項不存在.
考點:已知求,等差數(shù)列與等比數(shù)列基本性質(zhì)
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在數(shù)列{}中,,且,
(1)求的值;
(2)猜測數(shù)列{}的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),等比數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項為,且前n項和滿足.
(1)求數(shù)列和的通項公式:
(2)若數(shù)列前n項和為,問使的最小正整數(shù)n是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)項數(shù)均為()的數(shù)列、、前項的和分別為、、.已知,且集合=.
(1)已知,求數(shù)列的通項公式;
(2)若,求和的值,并寫出兩對符合題意的數(shù)列、;
(3)對于固定的,求證:符合條件的數(shù)列對(,)有偶數(shù)對.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)下列關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個數(shù)列,對應(yīng)圖中星星的個數(shù).
(1)寫出的值及數(shù)列的通項公式;
(2)求出數(shù)列的前n項和;
(3)若,對于(2)中的,有,求數(shù)列的前n項和;
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