Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每個(gè)側(cè)面均為正方形，D為底邊AB的中點(diǎn)，E為側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求證：AB₁⊥平面A₁EB；
（Ⅲ）求直線(xiàn)B₁E與平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)AB₁和A₁B的交點(diǎn)為O，連接EO，連接OD，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理可以證明四邊形ECOD為平行四邊形，再利用直線(xiàn)與平面平行的判定定理進(jìn)行證明，即可解決問(wèn)題；
（Ⅱ）因?yàn)槿�棱柱各�?cè)面都是正方形，所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC．所以BB₁⊥平面ABC．因?yàn)镃D?平面ABC，所以BB₁⊥CD，可證CD⊥平面A₁ABB₁，再利用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理進(jìn)行證明；
（Ⅲ）取A₁C₁中點(diǎn)F，連接B₁F，EF，易知側(cè)面ACC₁A₁⊥底面A₁B₁C₁，∠FEB₁是B₁E與平面AA₁C₁C所成角，然后構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中求其正弦值，從而求解．
解答：證明：（Ⅰ）設(shè)AB₁和A₁B的交點(diǎn)為O，連接EO，連接OD．
因?yàn)镺為AB₁的中點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，
所以O(shè)D∥BB₁且．又E是CC₁中點(diǎn)，
所以EC∥BB₁且，
所以EC∥OD且EC=OD．
所以，四邊形ECOD為平行四邊形．所以EO∥CD．
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，則CD∥平面A₁BE．（5分）
（Ⅱ）因?yàn)槿�棱柱各�?cè)面都是正方形，所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC．
所以BB₁⊥平面ABC．
因?yàn)镃D?平面ABC，所以BB₁⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB，
所以CD⊥平面A₁ABB₁．
由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁．
所以EO⊥AB₁．
因?yàn)閭?cè)面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．
又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB，
所以AB₁⊥平面A₁BE．（10分）

（Ⅲ）解：取A₁C₁中點(diǎn)F，連接B₁F，EF．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因?yàn)锽B₁⊥平面ABC，
所以側(cè)面ACC₁A₁⊥底面A₁B₁C₁．
因?yàn)榈酌鍭₁B₁C₁是正三角形，且F是A₁C₁中點(diǎn)，
所以B₁F⊥A₁C₁，所以B₁F⊥側(cè)面ACC₁A₁．
所以EF是B₁E在平面ACC₁A₁上的射影．
所以∠FEB₁是B₁E與平面AA₁C₁C所成角
.．（14分）

解法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)邊長(zhǎng)為2，可求得A（0，0，0），C（0，2，0），C₁（0，2，2），A₁（0，0，2），，，E（0，2，1），，．
（Ⅰ）易得，，．所以，所以EO∥CD．
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，則CD∥平面A₁BE．（5分）
（Ⅱ）易得，，，
所以．
所以AB₁⊥A₁B，AB₁⊥A₁E．
又因?yàn)锳₁B∩A₁E=A₁，A₁B，A₁E?平面A₁BE，
所以AB₁⊥平面A₁BE．（10分）
（Ⅲ）設(shè)側(cè)面AA₁C₁C的法向量為n=（x，y，z），
因?yàn)锳（0，0，0），C（0，2，0），C₁（0，2，2），A₁（0，0，2），
所以，．
由得解得
不妨令n=（1，0，0），設(shè)直線(xiàn)B₁E與平面AA₁C₁C所成角為α．
所以．
所以直線(xiàn)B₁E與平面AA₁C₁C所成角的正弦值為．（14分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查直線(xiàn)與平面平行的判斷及直線(xiàn)與平面垂直的判斷，第一問(wèn)此類(lèi)問(wèn)題一般先證明兩個(gè)面平行，再證直線(xiàn)和面平行，這種做題思想要記住，此類(lèi)立體幾何題是每年高考必考的一道大題，難度比較大，計(jì)算要仔細(xì)．