Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1（常數(shù)m、n∈R，且m＞n＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，且M、N為短軸的兩個端點(diǎn)，且四邊形F₁MF₂N是面積為4的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過原點(diǎn)且斜率分別為k和-k（k≥2）的兩條直線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1的交點(diǎn)為A、B、C、D（按逆時針順序排列，且點(diǎn)A位于第一象限內(nèi)），求四邊形ABCD的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由四邊形F₁MF₂N是面積為4的正方形，c=b=$\sqrt{2}$，由此能得到所求橢圓方程．
（2）設(shè)A（x，y）．求出A的坐標(biāo)．根據(jù)題設(shè)直線圖象與橢圓的對稱性，知S=4×$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$×$\frac{2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{16k}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{16}{\frac{1}{k}+2k}$（k≥2）．由此能求出四邊形ABCD的面積S的最大值．

解答 解：（1）依題意：四邊形F₁MF₂N是面積為4的正方形，
∴c=b=$\sqrt{2}$，
∴a=2
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．（3分）
（Ⅱ）設(shè)A（x，y）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$得A（$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$）．（6分）
根據(jù)題設(shè)直線圖象與橢圓的對稱性，知（8分）
S=4×$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$×$\frac{2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{16k}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{16}{\frac{1}{k}+2k}$（k≥2）．（9分）
設(shè)M（k）=2k+$\frac{1}{k}$，則當(dāng)k≥2時，M′（k）=2-$\frac{1}{{k}^{2}}$＞0
∴M（k）在k∈[2，+∞）時單調(diào)遞增，∴M（k）≥$\frac{9}{2}$，（11分）
∴當(dāng)k≥2時，S_max=$\frac{32}{9}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法和四邊形面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．