Question

14．已知兩正數(shù)x，y 滿足x+y=1，則z=$（x+\frac{1}{x}）（y+\frac{1}{y}）$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{33}{4}$
• B． $\frac{25}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{17}}}{4}$

Answer 1

分析 展開，并根據(jù)x+y=1可以得到$z=xy+\frac{2}{xy}-2$，可令t=xy，并求出$t∈（0，\frac{1}{4}]$，而根據(jù)$f（t）=t+\frac{2}{t}$的單調(diào)性即可求出f（t）的最小值，進而求出z的最小值．

解答 解：z=$（x+\frac{1}{x}）（y+\frac{1}{y}）$
=$xy+\frac{1}{xy}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$
=$xy+\frac{1}{xy}+\frac{（x+y）^{2}-2xy}{xy}$
=$xy+\frac{2}{xy}-2$；
令t=xy，則$0＜t=xy≤{（\frac{x+y}{2}）^2}=\frac{1}{4}$；
由$f（t）=t+\frac{2}{t}$在$（{0，\frac{1}{4}}]$上單調(diào)遞減，故當t=$\frac{1}{4}$時 $f（t）=t+\frac{2}{t}$有最小值$\frac{33}{4}$，
即：$x=y=\frac{1}{2}$時z有最小值$\frac{25}{4}$．
故選B．

點評 考查基本不等式的應(yīng)用，注意等號成立的條件，要熟悉函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}（a＞0）$的單調(diào)性．