Question

6．如圖，直線OA，OB方程分別為y=x和y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，過點(diǎn)P（2，0）作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在與直線2x+y+m=0，（m∈R）垂直且過原點(diǎn)的直線上時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 設(shè)$A（{m，m}），B（{-\sqrt{3}n，n}）$，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及點(diǎn)C在$y=\frac{1}{2}x$直線上，且A，P，B三點(diǎn)共線去，求出A的坐標(biāo)，根據(jù)求出直線AB的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求出．

解答 解：直線OA的方程為y=x，直線OB的方程為$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．
所以${k_{OA}}=1，{k_{OB}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
設(shè)$A（{m，m}），B（{-\sqrt{3}n，n}）$，
所以AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為$（{\frac{{m-\sqrt{3}n}}{2}，\frac{m+n}{2}}）$，
因?yàn)辄c(diǎn)C在$y=\frac{1}{2}x$直線上，且A，P，B三點(diǎn)共線，
所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{m+n}{2}=\frac{1}{2}•\frac{{m-\sqrt{3}n}}{2}\\ \frac{m-0}{m-2}=\frac{n-0}{{-\sqrt{3}n-2}}\end{array}\right.$，解得$m=2\sqrt{3}$，
所以$A（{2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}）$．
又P（2，0），
所以${k_{AB}}={k_{AP}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{2\sqrt{3}-2}}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$，
所以直線AB的方程為：$y=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}（{x-2}）$，即$（{3+\sqrt{3}}）x-2y-6-2\sqrt{3}=0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及求直線方程問題，考查運(yùn)算能力．