Question

16．（文科）已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$，
（1）當(dāng)a=3，x∈[-5，-3]時(shí)，求f（x）的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，+∞）是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=3時(shí)，化簡(jiǎn)f（x），利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，-3]上的單調(diào)性即可求出f（x）的取值范圍；
（2）利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），根據(jù)f（x）的單調(diào)性即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=$\frac{3x+1}{x+2}$=3-$\frac{5}{x+2}$，
所以x∈[-5，-3]時(shí)，函數(shù)f（x）=3-$\frac{5}{x+2}$單調(diào)遞增；
且f（-5）=3-$\frac{5}{-5+2}$=$\frac{14}{3}$，f（-3）=3-$\frac{5}{-3+2}$=8，
所以x∈[-5，-3]時(shí)，f（x）的取值范圍是[$\frac{14}{3}$，8]；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$=$\frac{a（x+2）+1-2a}{x+2}$=a+$\frac{1-2a}{x+2}$，
當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，+∞）是增函數(shù)時(shí)，
1-2a＜0，解得a＞$\frac{1}{2}$，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)函數(shù)解析式與求函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．