Question

函數(shù)f(x)=x+

a

x

．
（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）若a=2，證明函數(shù)在（2，+∞）單調(diào)增；
（3）對任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)是奇函數(shù)．利用奇函數(shù)的定義，先確定函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再驗(yàn)證f（-x）=-f（x）即可；
（2）求導(dǎo)數(shù)，證明導(dǎo)數(shù)大于0即可；
（3）對a討論，確定函數(shù)在（1，2）上的單調(diào)性，利用f（x）_min＞3，即可求得a的范圍．

解答：（1）解：f（x）是奇函數(shù)，證明如下：
由題意可得，函數(shù)的定義域{x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對稱
∵f（-x）=-x-

a

x

=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明；當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x+

2

x

，∴f′(x)=1-

2

x2

當(dāng)x＞2時(shí)，f′(x)=1-

2

x2

＞0恒成立
∴函數(shù)在（2，+∞）單調(diào)增；
（3）解：當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)=x+

a

x

在x∈（1，2）單調(diào)遞增
∴1+a＜f(x)＜2+

a

2

∴1+a≥3
∴a≥2（舍）
當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)=x+

a

x

在（0，

a

]單調(diào)遞減，在[

a

，+∞）單調(diào)遞增
∴2

a

＞3
∴a＞

9

4

∴a的范圍是(

9

4

，+∞)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查恒成立問題，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．