已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且過(guò)點(diǎn)．
（１）求橢圓的方程；
（２）設(shè)、、是橢圓上的三點(diǎn)，若，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，求證：．

（1）；（2）詳見(jiàn)試題解析．

解析試題分析：（1）由已知列方程組可求得的值，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和待定系數(shù)法可得線段的中點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，有橢圓的定義最終可得．
試題解析：(1)由已知 　　　　　　　　　　　　　　　　　    ２分
解得.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　            ４分
橢圓的方程為．　　　　　　　　　　　　　　　　           ５分
（２）設(shè)，則，．   6分
由,
得,即．    ７分
是橢圓上一點(diǎn)，所以
，　　　　　　　　　　　      ８分
即
得，故．    ９分
又線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，　　　　　　　      10分
，11分
線段的中點(diǎn)在橢圓上．　        12分
橢圓的兩焦點(diǎn)恰為， 　　       13分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　          14分
考點(diǎn)：1、橢圓的定義、方程；2、應(yīng)用平面向量解決解析幾何問(wèn)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A，B.
（I）如果直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求的值；
（II）如果，證明直線l必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為A，B，短軸的上端點(diǎn)為M，O為橢圓的中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且·＝1，｜｜＝1．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線l，使得點(diǎn)F恰為△PQM的垂心?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為.點(diǎn)在軌跡上，且關(guān)于軸對(duì)稱，過(guò)線段（兩端點(diǎn)除外）上的任意一點(diǎn)作直線，使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行，設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn).
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：；
（3）若點(diǎn)到直線的距離等于，且的面積為20，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B.
(1)求的取值范圍；，
(2)若直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求證：直線的斜率互為相反數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

給定圓:及拋物線:,過(guò)圓心作直線,此直線與上述兩曲線的四個(gè)交點(diǎn),自上而下順次記為,如果線段的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，直線與線段、分別交于點(diǎn)、.

（1）當(dāng)時(shí)，求以為焦點(diǎn)，且過(guò)中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，記的外接圓為圓.
①求證:圓心在定直線上；
②圓是否恒過(guò)異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)?若過(guò)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓: 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且橢圓上存在點(diǎn)，使，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，是實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？最大面積等于多少？

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