已知橢圓:
的長軸長為4,且過點(diǎn)
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)、
、
是橢圓上的三點(diǎn),若
,點(diǎn)
為線段
的中點(diǎn),
、
兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
、
,求證:
.
(1);(2)詳見試題解析.
解析試題分析:(1)由已知列方程組可求得的值,進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和待定系數(shù)法可得線段
的中點(diǎn)
的軌跡是以
,
為焦點(diǎn)的橢圓,有橢圓的定義最終可得
.
試題解析:(1)由已知 2分
解得. 4分
橢圓的方程為
. 5分
(2)設(shè),則
,
. 6分
由,
得,即
. 7分
是橢圓
上一點(diǎn),所以
, 8分
即
得,故
. 9分
又線段的中點(diǎn)
的坐標(biāo)為
, 10分
,11分
線段
的中點(diǎn)
在橢圓
上. 12分
橢圓
的兩焦點(diǎn)恰為
,
13分
14分
考點(diǎn):1、橢圓的定義、方程;2、應(yīng)用平面向量解決解析幾何問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,直線l與拋物線
相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(I)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn),求的值;
(II)如果,證明直線l必過一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓長軸的左右端點(diǎn)分別為A,B,短軸的上端點(diǎn)為M,O為橢圓的中心,F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),且·
=1,|
|=1.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),問:是否存在直線l,使得點(diǎn)F恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
經(jīng)過點(diǎn)且與直線
相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為
.點(diǎn)
在軌跡
上,且關(guān)于
軸對(duì)稱,過線段
(兩端點(diǎn)除外)上的任意一點(diǎn)作直線
,使直線
與軌跡
在點(diǎn)
處的切線平行,設(shè)直線
與軌跡
交于點(diǎn)
.
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線
的距離等于
,且
的面積為20,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,焦距為
,且經(jīng)過點(diǎn)
,直線
交橢圓于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)求的取值范圍;,
(2)若直線不經(jīng)過點(diǎn)
,求證:直線
的斜率互為相反數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
給定圓:
及拋物線
:
,過圓心
作直線
,此直線與上述兩曲線的四個(gè)交點(diǎn),自上而下順次記為
,如果線段
的長按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,橢圓C過點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線
的斜率與
的斜率互為相反數(shù),證明直線
的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知
,
,
,直線
與線段
、
分別交于點(diǎn)
、
.
(1)當(dāng)時(shí),求以
為焦點(diǎn),且過
中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)作直線
交
于點(diǎn)
,記
的外接圓為圓
.
①求證:圓心在定直線
上;
②圓是否恒過異于點(diǎn)
的一個(gè)定點(diǎn)?若過,求出該點(diǎn)的坐標(biāo);若不過,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知、
分別是橢圓
:
的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)
在直線
上,線段
的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)
.直線
與橢圓
交于不同的兩點(diǎn)
、
,且橢圓
上存在點(diǎn)
,使
,其中
是坐標(biāo)原點(diǎn),
是實(shí)數(shù).
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)取何值時(shí),
的面積最大?最大面積等于多少?
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