已知橢圓:的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)、、是橢圓上的三點(diǎn),若,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,求證:.
(1);(2)詳見(jiàn)試題解析.
解析試題分析:(1)由已知列方程組可求得的值,進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和待定系數(shù)法可得線段的中點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的橢圓,有橢圓的定義最終可得.
試題解析:(1)由已知 2分
解得. 4分
橢圓的方程為. 5分
(2)設(shè),則,. 6分
由,
得,即. 7分
是橢圓上一點(diǎn),所以
, 8分
即
得,故. 9分
又線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為, 10分
,11分
線段的中點(diǎn)在橢圓上. 12分
橢圓的兩焦點(diǎn)恰為, 13分
14分
考點(diǎn):1、橢圓的定義、方程;2、應(yīng)用平面向量解決解析幾何問(wèn)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,直線l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(I)如果直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn),求的值;
(II)如果,證明直線l必過(guò)一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為A,B,短軸的上端點(diǎn)為M,O為橢圓的中心,F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),且·=1,||=1.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),問(wèn):是否存在直線l,使得點(diǎn)F恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為.點(diǎn)在軌跡上,且關(guān)于軸對(duì)稱,過(guò)線段(兩端點(diǎn)除外)上的任意一點(diǎn)作直線,使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行,設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn).
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線的距離等于,且的面積為20,求直線的方程.
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已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,焦距為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)求的取值范圍;,
(2)若直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn),求證:直線的斜率互為相反數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
給定圓:及拋物線:,過(guò)圓心作直線,此直線與上述兩曲線的四個(gè)交點(diǎn),自上而下順次記為,如果線段的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知,橢圓C過(guò)點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù),證明直線的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,,直線與線段、分別交于點(diǎn)、.
(1)當(dāng)時(shí),求以為焦點(diǎn),且過(guò)中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作直線交于點(diǎn),記的外接圓為圓.
①求證:圓心在定直線上;
②圓是否恒過(guò)異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)?若過(guò),求出該點(diǎn)的坐標(biāo);若不過(guò),請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知、分別是橢圓: 的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在直線上,線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn).直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且橢圓上存在點(diǎn),使,其中是坐標(biāo)原點(diǎn),是實(shí)數(shù).
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)取何值時(shí),的面積最大?最大面積等于多少?
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