Question

已知函數(shù)f（x）=e^x•（ax²-2x-2），a∈R且a≠0，當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（|cosx|）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：欲求函數(shù)f（|cosx|）的最大值和最小值，利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值最小值．

解答：解：f′（x）=（e^x）′•（ax²-2x-2）+e^x•（ax²-2x-2）′
=e^x•（ax²-2x-2）+e^x•（2ax-2）
=a•ex•(x-

2

a

)(x+2)．（（3分））
設(shè)|cosx|=t（0≤t≤1），只需求函數(shù)y=f（t）（0≤t≤1）的最大值和最小值．（7分）
令f′（x）=0，解得x=

2

a

或x=-2．
∵a＞0，∴

2

a

＞-2．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

函數(shù)f（x）在（-∞，-2）和(

2

a

，+∞)上單調(diào)遞增；在(-2，

2

a

)上單調(diào)遞減；（9分）
當(dāng)

2

a

≥1，即0＜a≤2時(shí)，函數(shù)f（t）在[0，1]上為減函數(shù)．y_min=f（1）=（a-4）e，y_max=f（0）=-2．
當(dāng)0＜

2

a

＜1，即a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的極小值為[0，1]上的最小值，
∴ymin=f(

2

a

)=-2e

2

a

．
函數(shù)f（t）在[0，1]上的最大值為f（0）與f（1）中的較大者．
∵f（0）=-2，f（1）=（a-4）e．
∴當(dāng)a＞4-

2

e

時(shí)，f（1）＞f（0），此時(shí)y_max=f（1）=（a-4）e；
當(dāng)a=4-

2

e

時(shí)，f（1）=f（0），此時(shí)y_max=f（0）=f（1）=-2；
當(dāng)2＜a＜4-

2

e

時(shí)，f（1）＜f（0），此時(shí)y_max=f（0）=-2．（12分）
綜上，當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f（|cosx|）的最小值為（a-4）e，最大值為-2；
當(dāng)2＜a≤4-

2

e

時(shí)，f（|cosx|）的最小值為-2e

2

a

，最大值為-2；
當(dāng)a＞4-

2

e

時(shí)，f（|cosx|）的最小值為-2e

2

a

，最大值為（a-4）e．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和分類討論思想．屬于基礎(chǔ)題．