【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠ABC=60°,PA⊥PB,PC=2.
(1)求證:平面PAB⊥平面ABCD;
(2)若PA=PB,求二面角A﹣PC﹣D的余弦值.
【答案】
(1)證明:取AB的中點O,連接AC,CO,PO,
由ABCD是邊長為2的菱形,可得AB=BC=2,
又∠ABC=60°,可得△ABC為等邊三角形,
即有CO⊥AB,OC= ,
由PA⊥PB,可得OP= AB=1,
而PC=2,
由OP2+OC2=12+( )2=22=PC2,
可得CO⊥OP,
而AB,OP為相交二直線,可得CO⊥平面PAB,
又OC平面ABCD,
即有平面PAB⊥平面ABCD
(2)解:由PA=PB,可得PO⊥AB,
又平面PAB⊥平面ABCD,則PO⊥平面ABCD,
直線OC,OB,OP兩兩垂直,
以O(shè)為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)C,OB,OP所在直線為x,y,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,
則O(0,0,0),A(0,﹣1,0),P(0,0,1),B(0,1,0),
C( ,0,0),D( ,2,0),
可得 =( ,0,﹣1), =(0,1,1), =(0,2,0),
設(shè)平面APC的一個法向量為 =(x1,y1,z1),平面DPC的一個法向量為 =(x2,y2,z2),
由 可得 ,取z1= ,可得 =(1,﹣ , ),
由 ,可得 ,取x2= ,可得 =( ,0,3),
由題意可得二面角A﹣PC﹣D為銳角二面角,記為θ,
則cosθ=|cos< , >|= = = .
即有二面角A﹣PC﹣D的余弦值為 .
【解析】(1)取AB的中點O,連接AC,CO,PO,運用菱形和等邊三角形的性質(zhì),以及線面垂直的判定定理,可得CO⊥平面PAB,再由面面垂直的判定定理即可得證;(2)由面面垂直的性質(zhì)定理,可得直線OC,OB,OP兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點,分別以O(shè)C,OB,OP所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,分別求得O,A,P,B,C,D, , , 的坐標(biāo), 設(shè)平面APC的一個法向量為 =(x1 , y1 , z1),平面DPC的一個法向量為 =(x2 , y2 , z2),運用向量垂直的條件:數(shù)量積為0,求得一個法向量,再由向量的夾角公式計算即可得到所求值.
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識點,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某興趣小組欲研究某地區(qū)晝夜溫差大小與患感冒就診人數(shù)之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1到5月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 |
晝夜溫差 | 8 | 10 | 13 | 12 | 9 |
就診人數(shù)(個) | 18 | 25 | 28 | 26 | 17 |
該興趣小組確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取一組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用選取的一組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(1)若選取的是1月的一組數(shù)據(jù),請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù).求出關(guān)于的線性回歸方程.
(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過2,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試判斷該小組所得的線性回歸方程是否理想?如果不理想,請說明理由,如果理想,試預(yù)測晝夜溫差為時,因感冒而就診的人數(shù)約為多少?
參考公式:, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.
根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是( 。
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2+mx﹣2與x軸交于A、B兩點,點C的坐標(biāo)為(0,1),當(dāng)m變化時,解答下列問題:(12分)
(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況?說明理由;
(2)證明過A、B、C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=lnx﹣ax2+x有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,1)
B.(﹣∞,1)
C.(﹣∞, )
D.(0, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),0<α<π),以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ= (p>0).
(Ⅰ)寫出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于A,B兩點,求 + 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某籃球隊對籃球運動員的籃球技能進行統(tǒng)計研究,針對籃球運動員在投籃命中時,運動員距籃筐中心的水平距離這項指標(biāo),對某運動員進行了若干場次的統(tǒng)計,依據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制如下頻率分布直方圖:
(1)依據(jù)頻率分布直方圖估算該運動員投籃命中時,他到籃筐中心的水平距離的中位數(shù);
(2)若從該運動員投籃命中時,他到籃筐中心的水平距離為2到5米的這三組中,用分層抽樣的方法抽取7次成績(單位:米,運動員投籃命中時,他到籃筐中心的水平距離越遠(yuǎn)越好),并從抽到的這7次成績中隨機抽取2次,并規(guī)定:成績來自2到3米這一組時,記1分;成績來自3到4米這一組時,記2分;成績來4到5米的這一組記 4分,求該運動員2次總分不少于5分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,直線y= x為曲線y=f(x)的切線(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)g(x)=min{f(x),x﹣ }(x>0),若函數(shù)h(x)=g(x)﹣cx2為增函數(shù),求實數(shù)c的取值范圍.
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