Question

（本小題滿分12分）如圖，已知平面平行于三棱錐的底面，等邊三角形所在平面與面垂直，且，設(shè)。
（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；
（Ⅱ）求點(diǎn)與平面的距離；
（Ⅲ）求二面角的大小。

Answer 1

(Ⅰ)略   (Ⅱ)   （Ⅲ）

法一：


（Ⅰ）證明：∵平面∥平面
∴∥∵∴
又∵平面平面，平面平面
∴平面∴
又∵
∴為與的公垂線。
（Ⅱ）過作于，
∵為正三角形，
∴為中點(diǎn)，
∵平面
∴
又∵
∴平面
∴線段的長(zhǎng)即為到平面的距離
在等邊三角形中，
∴點(diǎn)到平面的距離為。
（Ⅲ）過作于，連結(jié)
由三垂線定理知
∴是二面角的平面角
在中，，～，
∴，∴
所以，二面角的大小為。
法二：取中點(diǎn)，連結(jié)，易知平面，
過作直線∥交于
取為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，、、所在直線分別為如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

（Ⅰ）
∴
∴，∴，
又∵∥，由已知，∥
∴，
即為與的公垂線。
（Ⅱ）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，又，
則，即，令，則
∴設(shè)所求距離為，
∴點(diǎn)到平面的距離為。
（Ⅲ）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又
則則令，則
即，設(shè)二面角為，

又二面角為銳角
二面角的大小為。