Question

9．已知數(shù)列{a_n}，其中c_n=2ⁿ+3ⁿ，試探求數(shù)列{c_n+1-pc_n}成等比數(shù)列的充要條件，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 如果數(shù)列{c_n+1-pc_n}為等比數(shù)列，則必有c₂-pc₁，c₃-pc₂，c₄-pc₃成等比數(shù)列．由此，可以求出p的值，然后證明所求p值符合題意．

解答 解：因?yàn)閧c_n+1-pc_n}是等比數(shù)列，
故有c₂-pc₁，c₃-pc₂，c₄-pc₃成等比數(shù)列，
所以（c₃-pc₂）²=（c₂-pc₁）（c₄-pc₃），
即（35-13p）²=（13-5p）（97-35p）．
解得p=2或p=3．
證明如下：
當(dāng)p=2時(shí)，c_n+1-pc_n=（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）-2（2ⁿ+3ⁿ）=3ⁿ，數(shù)列{c_n+1-pc_n}成等比數(shù)列；
當(dāng)p=3時(shí)，c_n+1-pc_n=（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）-3（2ⁿ+3ⁿ）=-2ⁿ，數(shù)列{c_n+1-pc_n}成等比數(shù)列．
∴數(shù)列{c_n+1-pc_n}成等比數(shù)列的充要條件為p=2或p=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列{c_n+1-pc_n}成等比數(shù)列的充要條件的探求和證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．