Question

2．解答題：$x\;，\;\;y∈[{-\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{4}}]$，a∈R，且$\left\{\begin{array}{l}{x^5}+sinx-4a=0\\ 8{y^5}+\frac{1}{4}sin2y+a=0\end{array}\right.$，求$cos（{x+2y+\frac{π}{4}}）$的值．

Answer 1

分析 設(shè)f（u）=u⁵+sinu．根據(jù)題設(shè)等式可知f（x）=4a，f（2y）=-4a，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求得f（x）=-f（2y）=f（-2y）．進(jìn)而推斷出x+2y=0．進(jìn)而求得cos（x+2y+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：設(shè)f（u）=u⁵+sinu．∵$\left\{\begin{array}{l}{x^5}+sinx-4a=0\\ 8{y^5}+\frac{1}{4}sin2y+a=0\end{array}\right.$，
由①式得f（x）=2a，由②式得f（2y）=-2a．
因?yàn)閒（u）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是單調(diào)增函數(shù)，并且是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（2y）=f（-2y）．
∴x=-2y，即x+2y=0．
∴cos（x+2y+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用函數(shù)思想解決實(shí)際問題．考查了學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的思想，轉(zhuǎn)化和化歸的思想．屬于中檔題