Question

已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，e為雙曲線的離心率，P是雙曲線右支上的點(diǎn)，△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心為I，過F₂作直線PI的垂線，垂足為B，則OB=（ ）
A．a(chǎn)
B．b
C．ea
D．eb

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，利用切線長定理，再利用雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=2a，轉(zhuǎn)化為|AF₁|-|AF₂|=2a，從而求得點(diǎn)H的橫坐標(biāo)．再在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個(gè)等腰三角形，從而在三角形F₁CF₂中，利用中位線定理得出OB，從而解決問題．
解答：解：由題意知：F₁（-c，0）、F₂（c，0），內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)A，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，及圓的切線長定理知，
|AF₁|-|AF₂|=2a，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，
則|（x+c）-（x-c）|=2a
∴x=a．
在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個(gè)等腰三角形，PC=PF₂，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
OB=CF₁=（PF₁-PC）=（PF₁-PF₂）=×2a=a．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、切線長定理．解答的關(guān)鍵是充分利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)．