Question

已知直線x+y-1=0經(jīng)過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)F．
（Ⅰ）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）斜率為k，且過點(diǎn)F的動直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，求證直線BD過頂點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）把橢圓短軸上端點(diǎn)坐標(biāo)及右焦點(diǎn)坐標(biāo)代入直線x+y-1=0求得b，c的值，進(jìn)一步求得a的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）當(dāng)斜率不為0時設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立得到A，B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的和與積，由對稱性把D的坐標(biāo)用A的坐標(biāo)表示，然后把B，D的坐標(biāo)代入橢圓方程，通過整體運(yùn)算把BD的斜率用A，B的坐標(biāo)表示，寫出BD的方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系整體代入得到

2k2

1+2k2

x+(y2-y1)y=

4k2

1+2k2

，由此說明直線BD過定點(diǎn)（2，0），k=0時驗(yàn)證成立．

解答： （Ⅰ）解：由直線直線x+y-1=0經(jīng)過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的短軸端點(diǎn)（0，b）和右焦點(diǎn)
F（c，0），可得b=c=1，∴a²=b²+c²=2．
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1；  
（Ⅱ）證明：由橢圓C的方程可得右焦點(diǎn)為F（1，0），
∵直線AB的斜率為k，且直線經(jīng)過右焦點(diǎn)F，
∴直線AB的方程為y=k（x-1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x₁，-y₁）．
（1）當(dāng)k≠0時，∵點(diǎn)B，D在橢圓C上，
∴

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，

x 2 1

2

+(-y1)2=1…①
∴-

x 2 1 - x 2 2

2

+(

y

2 1

-

y

2 2

)=0，依題意知x₁≠x₂，
∴直線BD的斜率kBD=

y2-(-y1)

x2-x1

=

1

2

x1+x2

y1-y2

，
則直線BD的方程為y-y2=

1

2

x1+x2

y1-y2

(x-x2)…②
由①②得，

(x1+x2)x

2

+(y2-y1)y=

x1x2

2

-y1y2+1…③
把直線AB的方程代入橢圓C的方程得

x2

2

+[k(x-1)]2=1，
即（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0…④
∵x₁，x₂是方程④的兩個實(shí)數(shù)解，
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

…⑤
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]…⑥
把⑤代入⑥得，y1y2=k2[

2k2-2

1+2k2

-

4k2

1+2k2

+1]=

-k2

1+2k2

…⑦
把⑤⑦代入③得，

4k2

1+2k2

•

x

2

+(y2-y1)y=

2k2-2

1+2k2

•

1

2

-

-k2

1+2k2

+1，
即

2k2

1+2k2

x+(y2-y1)y=

4k2

1+2k2

，
令y=0，解得x=2．
此時，直線BD過定點(diǎn)（2，0）；
（2）當(dāng)k=0時，點(diǎn)A，B為橢圓C的長軸端點(diǎn)，故點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，
此時直線BD即為x軸，而x軸過點(diǎn)（2，0），則直線BD也過點(diǎn)（2，0）．
綜上所述，直線直線BD過定點(diǎn)（2，0）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，這是處理這類問題的最為常用的方法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，是高考試卷中的壓軸題．