Question

【題目】設(shè) ，若0≤a≤1，n∈N＋且n≥2，求證：f(2x)≥2f(x).

Answer 1

【答案】證明：∵ ，
∴要證f(2x)≥2f(x)，
只要證 ，
即證 (*)
也即證n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]
≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2 ，
∵0≤a≤1，∴a＞a2 ， 根據(jù)柯西不等式得
n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]
，
≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2 ，
即(*)式顯然成立，故原不等式成立.
【解析】本題主要考查了一般形式的柯西不等式，解決問題的關(guān)鍵是將f(2x)＞2f(x)具體化，然后再根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選擇合適的證明方法.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了一般形式的柯西不等式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般形式的柯西不等式：才能正確解答此題．