如圖,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD為矩形,ADEF為梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2 DE=2,M為AD中點(diǎn).
(Ⅰ) 證明;
(Ⅱ) 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為,求AB的長(zhǎng).
(Ⅰ).由已知為正三角形,;(Ⅱ) AB=.
【解析】
試題分析:(Ⅰ).由已知為正三角形,
(Ⅱ) 方法一:設(shè)AB=x.取AF的中點(diǎn)G.由題意得DG⊥AF.
因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,所以AB⊥平面ADEF,
所以AB⊥DG.所以DG⊥平面ABF.過(guò)G作GH⊥BF,垂足為H,
連結(jié)DH,則DH⊥BF,
所以∠DHG為二面角A-BF-D的平面角.在直角△AGD中,AD=2,AG=1,得DG=.
在直角△BAF中,由=sin∠AFB=,得=,所以GH=.
在直角△DGH中,DG=,GH=,得DH=.
因?yàn)閏os∠DHG==,得x=,所以AB=.
方法二:設(shè)AB=x.以F為原點(diǎn),AF,F(xiàn)Q所在的直線分別為x軸,y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz.
則F(0,0,0),A(-2, 0,0),E(,0,0),D(-1,,0),B(-2,0,x),所以=(1,-,0),=(2,0,-x).
因?yàn)镋F⊥平面ABF,所以平面ABF的法向量可取=(0,1,0).
設(shè)=(x1,y1,z1)為平面BFD的法向量,則
所以,可取=(,1,).因?yàn)閏os<,>==,
得x=,所以AB=.
方法三:以M為原點(diǎn),MA, MF所在的直線分別為x軸,y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz.略
考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系,距離的計(jì)算。
點(diǎn)評(píng):典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。本題利用向量簡(jiǎn)化了證明過(guò)程。把證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化成向量的坐標(biāo)運(yùn)算,這種方法帶有方向性。
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