如圖,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD為矩形,ADEF為梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2 DE=2,M為AD中點(diǎn).

(Ⅰ) 證明;

(Ⅱ) 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為,求AB的長(zhǎng).

 

【答案】

(Ⅰ).由已知為正三角形,;(Ⅱ) AB=

【解析】

試題分析:(Ⅰ).由已知為正三角形,

(Ⅱ) 方法一:設(shè)AB=x.取AF的中點(diǎn)G.由題意得DG⊥AF.

因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,所以AB⊥平面ADEF,

所以AB⊥DG.所以DG⊥平面ABF.過(guò)G作GH⊥BF,垂足為H,

連結(jié)DH,則DH⊥BF,

所以∠DHG為二面角A-BF-D的平面角.在直角△AGD中,AD=2,AG=1,得DG=

在直角△BAF中,由=sin∠AFB=,得,所以GH=

在直角△DGH中,DG=,GH=,得DH=

因?yàn)閏os∠DHG=,得x=,所以AB=

方法二:設(shè)AB=x.以F為原點(diǎn),AF,F(xiàn)Q所在的直線分別為x軸,y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz.

則F(0,0,0),A(-2, 0,0),E(,0,0),D(-1,,0),B(-2,0,x),所以=(1,-,0),=(2,0,-x).

因?yàn)镋F⊥平面ABF,所以平面ABF的法向量可取=(0,1,0).

設(shè)=(x1,y1,z1)為平面BFD的法向量,則

所以,可取=(,1,).因?yàn)閏os<,>=,

得x=,所以AB=

方法三:以M為原點(diǎn),MA, MF所在的直線分別為x軸,y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz.略

考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系,距離的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng):典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。本題利用向量簡(jiǎn)化了證明過(guò)程。把證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化成向量的坐標(biāo)運(yùn)算,這種方法帶有方向性。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且AF=
12
AD=a,G是EF的中點(diǎn),
(1)求證平面AGC⊥平面BGC;
(2)求GB與平面AGC所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且AF=
12
AD=a
,G是EF的中點(diǎn).
(1)求證:平面AGC⊥平面BGC;
(2)求二面角B-AC-G的大。

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(2010•河?xùn)|區(qū)一模)如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形.ABEF是矩形,G是線段EF的中點(diǎn),且B點(diǎn)在平面ACG內(nèi)的射影在CG上.
(1)求證:AG上平面BCG;
(2)求直線BE與平面ACG所成角的正弦值.

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1
2
AD=a,G是EF的中點(diǎn),則GB與平面AGC所成角的正弦值為( 。

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精英家教網(wǎng)如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,四邊形ABCD是正方形,四邊形ABEF是矩形,且AF=
3
2
AD
,G是EF的中點(diǎn),則GB與平面AGC所成角的正弦值為( 。
A、
6
6
B、
21
6
C、
7
7
D、
21
7

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