Question

如圖所示，已知PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，AC與BD交于E點，BD=2，BC=CD=．
（1）取PD的中點F，求證：PB∥平面AFC；
（2）求多面體PABCF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）以AC、AP分別為y、z軸，點A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系．欲證PB∥平面ACF，只須證PB∥EF，分別求出向量、的坐標，可得，結合向量的線性運算法則得PB∥EF，由此可得PB∥平面ACF．
（2）根據(jù)題意算出等邊△ABD和等腰Rt△BCD的面積，從而得到四邊形ABCD的面積S_ABCD=+1，結合PA=2是四棱錐P-ABCD的高，利用錐體體積公式算出四棱錐P-ABCD的體積，即得多面體PABCF的體積．
解答：解：（1）以AC、AP分別為y、z軸，A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
∵PA=AB=AD=BD=2，BC=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴△ABD是等邊三角形，且E是BD中點，AC⊥BD，
則A（0，0，0）、B（1，，0）、D（-1，，0）、E（0，，0）、
P（0，0，2）、F（-，，1）
∵=（1，，-2），=（，，-1），
∴，可得PB∥EF，
∵PB?平面ACF，EF?平面ACF，∴PB∥平面ACF．
（2）∵△ABD是邊長為2的等邊三角形，∴S_△ABD==
又∵△BCD中，BC=CD=且BD=2，
∴△BCD是以BC、CD作為直角邊的等腰直角三角形，可得S_△BCD==1
因此，四邊形ABCD的面積S_ABCD=S_△ABD+S_△BCD=+1
∵PA⊥平面ABCD，得PA是四棱錐P-ABCD的高
∴四棱錐P-ABCD的體積V=S_ABCD×PA=（+1）×2=
即多面體PABCF的體積等于．
點評：本題給出四棱錐的高等于2，底面由邊長為2的正三角形和斜邊長等于2的等腰直角三角形組成的四邊形，證明直線與平面垂直并求錐體的體積．著重考查了利用向量的方法證明線面平行、錐體的體積求法等知識，屬于中檔題．