Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，滿足

a

2 n+1

-an+1an-2

a

2 n

=0（n∈N^*），且a₁=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=an•log

1

2

an，若b_n的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n；
（3）在（2）的條件下，求使Sn+n•2n+1＞50成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，直接由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把（1）中求出的{a_n}的通項(xiàng)公式代入bn=an•log

1

2

an，然后利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）直接把數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n代入Sn+n•2n+1＞50，即可求解使Sn+n•2n+1＞50成立的正整數(shù)n的最小值．

解答： 解：（1）∵

a

2 n+1

-an+1an-2

a

2 n

=0，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-2a_n=0，
即a_n+1=2a_n（n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列．
∵a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=2n；
（2）由（1）及b_n=anlog

1

2

an得，bn=-n•2n，
∵S_n=b₁+b₂+…+b_n，
∴Sn=-2-2•22-3•23-…-n•2n  ①
∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25-…-(n-1)•2n-n•2n+1  ②
②-①得，Sn=2+22+23+24+25+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2；
（3）要使Sn+n•2n+1＞50成立，
只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，
即2ⁿ⁺¹＞52，
∴n≥5．
∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整數(shù)n的最小值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了指數(shù)不等式的解法，是中檔題．