Question

15．已知兩個定點(diǎn)A（-1，0）、B（2，0），求使∠MBA=2∠MAB的點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)動點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y），∠MAB=β，∠MBA=α，即α=2β，可得tanα=tan2β，利用二倍角的正切函數(shù)公式化簡，得到關(guān)系式，分三種情況考慮：如圖（1），點(diǎn)M在x軸上方時；如圖（2）當(dāng)M在x軸下方時；如圖（3）當(dāng)M在x軸上時，分別列出軌跡方程即可．

解答 解：設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），∠MAB=β，
∠MBA=α，即α=2β，
∴tanα=tan2β，則tanα=$\frac{2tanβ}{1-tan2β}$①，
（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時，tanβ=$\frac{y}{x+1}$，
tanα=$\frac{y}{2-x}$，
將其代入①式并整理得：3x²-y²=3（x＞0，y＞0）；                
（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)M在x軸的下方時，
tanβ=$\frac{-y}{x+1}$，tanα=$\frac{-y}{2-x}$，
將其代入①式并整理得3x²-y²=3（x＞0，y＜0）；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時，若滿足α=2β，M點(diǎn)只能在線段AB上運(yùn)動（端點(diǎn)A、B除外），只能有α=β=0．
綜上所述，可知點(diǎn)M的軌跡方程為3x²-y²=3（右支）或y=0 （-1＜x＜2）．

點(diǎn)評 此題考查了軌跡方程，利用了分類討論的思想，結(jié)合圖形、考慮問題全面是解本題的關(guān)鍵．