Question

7．函數(shù)f（x）=$\frac{{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-1}}{{\sqrt{3-2cosx-4sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}}}$（0≤x≤2π）的值域是 （　�。�

• A． [-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0$]
• B． [-1，0]
• C． [-$\sqrt{2}，0$]
• D． [-$\sqrt{3}，0$]

Answer 1

分析 先把已知的函數(shù)兩邊平方結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系式以及基本不等式得到 y²≤1，再結(jié)合正弦函數(shù)本身的范圍即可得到答案．

解答 解：因為f（x）=$\frac{{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-1}}{{\sqrt{3-2cosx-4sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}}}$=$\frac{sinx-1}{\sqrt{3-2cosx-2sinx}}$，
所以y²=$\frac{si{n}^{2}x-2sinx+1}{3-2cosx-2sinx}$=$\frac{1-co{s}^{2}x-2sinx+1}{3-2cosx-2sinx}$=$\frac{3-（co{s}^{2}x+1）-2sinx}{3-2cosx-2sinx}$≤$\frac{3-2cosx-2sinx}{3-2cosx-2sinx}$=1．
∴|y|≤1⇒-1≤y≤1．
∵0≤x≤2π時，sinx-1≤0．
∴-1≤y≤0．即函數(shù)f（x）=$\frac{{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-1}}{{\sqrt{3-2cosx-4sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}}}$（0≤x≤2π）的值域是[-1，0]．
故選：B．

點評 本題主要考查運用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行化簡求值．解決這一類型題目的關(guān)鍵在于對公式的熟練掌握以及靈活運用．