Question

（16分）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源消耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元，該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：厘米）滿足關(guān)系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元。設(shè)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。

⑴求的值及的表達式；

⑵隔熱層修建多厚時，總費用達到最小，并求最小值.

 

Answer 1

【答案】

⑴。

⑵當隔熱層為5cm厚時，總費用達到最小值70萬元。

【解析】函數(shù)的實際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建�！�解�！�還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（�。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）是最優(yōu)化問題中，最常見的思路之一．

1）由建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=k/(3x+5 )

(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．我們可得C（0）=8，得k=40，進而得到C(x)=40 /(3x+5 )．建造費用為C¹（x）=6x，則根據(jù)隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達式．

（2）由（1）中所求的f（x）的表達式，我們利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性易求出總費用f（x）的最小值．

解析：⑴根據(jù)題意設(shè)隔熱層厚度為，由題設(shè)，每年能源消耗費用為，由，解得，故，而建造費用為，隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為。

⑵，令，解得或（舍去）。

當時，，當時，，故是的最小值點，對應(yīng)的最小值是.

當隔熱層為5cm厚時，總費用達到最小值70萬元。