Question

（16分）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源消耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元，該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度（單位：厘米）滿足關(guān)系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元。設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和。

⑴求的值及的表達(dá)式；

⑵隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，并求最小值.

 

Answer 1

【答案】

⑴。

⑵當(dāng)隔熱層為5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元。

【解析】函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過(guò)析題→建模→解�！�還原四個(gè)過(guò)程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問(wèn)題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（小）化問(wèn)題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問(wèn)題中，最常見(jiàn)的思路之一．

1）由建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=k/(3x+5 )

(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．我們可得C（0）=8，得k=40，進(jìn)而得到C(x)=40 /(3x+5 )．建造費(fèi)用為C¹（x）=6x，則根據(jù)隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達(dá)式．

（2）由（1）中所求的f（x）的表達(dá)式，我們利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性易求出總費(fèi)用f（x）的最小值．

解析：⑴根據(jù)題意設(shè)隔熱層厚度為，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為，由，解得，故，而建造費(fèi)用為，隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為。

⑵，令，解得或（舍去）。

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值是.

當(dāng)隔熱層為5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元。