Question

9．已知函數(shù)f（x）=x-sinx．
（Ⅰ）若直線l與函數(shù)y=f（x）的圖象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，證明：直線l的斜率k＞0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜ax在（0，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直線斜率k=1-$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，根據(jù)f（x）遞增得到即x₁-sinx₁＜x₂-sinx₂，求出$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＜1，從而求出k＞0；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＞1-$\frac{sinx}{x}$在x∈（0，$\frac{π}{2}$]恒成立，令g（x）=$\frac{sinx}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）直線l與函數(shù)y=f（x）的圖象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，
∴k=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=1-$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，
∵f′（x）=1-cosx≥0，∴f（x）是增函數(shù)，
∴f（x₁）＜f（x₂），即x₁-sinx₁＜x₂-sinx₂，
∴$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＜1，
∴k=1-$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＞0，
即直線l的斜率k＞0；
（Ⅱ）不等式f（x）＜ax在（0，$\frac{π}{2}$]上恒成立
?a＞1-$\frac{sinx}{x}$在x∈（0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
令g（x）=$\frac{sinx}{x}$，則g′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=xcosx-sinx，則h′（x）=-xsinx＜0，
∴h（x）在（0，$\frac{π}{2}$]遞減，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴g′（x）＜0，g（x）在（0，$\frac{π}{2}$]遞減，
∴g（x）≥g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{2}{π}$，
∴1-g（x）=1-$\frac{sinx}{x}$≤1-$\frac{2}{π}$，
∴a＞$\frac{π-2}{π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．