【題目】如圖,已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P(2,0)作斜率分別為k1 , k2的兩條直線,與拋物線相交于點(diǎn)A、B和C、D,且M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)
(1)若k1+k2=0, ,求線段MN的長(zhǎng);
(2)若k1k2=﹣1,求△PMN面積的最小值.
【答案】
(1)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),不妨設(shè)y1>0,則
設(shè)直線AB的方程為y=k1(x﹣2),代入y2=4x,可得y2﹣ y﹣8=0
∴y1+y2= ,y1y2=﹣8,
∵ ,∴y1=﹣2y2,∴y1=4,y2=﹣2,
∴yM=1,
∵k1+k2=0,
∴線段AB和CD關(guān)于x軸對(duì)稱,
∴線段MN的長(zhǎng)為2
(2)解:∵k1k2=﹣1,∴兩直線互相垂直,
設(shè)AB:x=my+2,則CD:x=﹣ y+2,
x=my+2代入y2=4x,得y2﹣4my﹣8=0,
則y1+y2=4m,y1y2=﹣8,
∴M(2m2+2,2m).
同理N( +2,﹣ ),
∴|PM|=2|m| ,|PN|= ,|
∴S△PMN= |PM||PN|= (m2+1)=2(|m|+ )≥4,
當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)取等號(hào),
∴△PMN面積的最小值為4
【解析】(1)若k1+k2=0,線段AB和CD關(guān)于x軸對(duì)稱,利用 ,確定坐標(biāo)之間的關(guān)系,即可求線段MN的長(zhǎng);(2)若k1k2=﹣1,兩直線互相垂直,求出M,N的坐標(biāo),可得|PM|,|PN|,即可求△PMN面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】袋中有五張卡片,其中紅色卡片三張,標(biāo)號(hào)分別為1,2,3;藍(lán)色卡片兩張,標(biāo)號(hào)分別為1,2.
(1)從以上五張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率;
(2)現(xiàn)往袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片,從這六張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和不大于4的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,左、右頂點(diǎn)分別為為直徑的圓O過橢圓E的上頂點(diǎn)D,直線DB與圓O相交得到的弦長(zhǎng)為.設(shè)點(diǎn),連接PA交橢圓于點(diǎn)C,坐標(biāo)原點(diǎn)為O.
(I)求橢圓E的方程;
(II)若三角形ABC的面積不大于四邊形OBPC的面積,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且an是Sn與2的等差中項(xiàng),數(shù)列{bn}中,b1=1,點(diǎn)P(bn , bn+1)在直線x﹣y+2=0上.
(1)求a1和a2的值;
(2)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)an和bn;
(3)設(shè)cn=anbn , 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],則函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的最大值為( )
A.6
B.22
C.﹣3
D.13
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若c= ,△ABC的面積為 ,求△ABC的周長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出定義:若m﹣ <x≤m+ (其中m為整數(shù)),則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù),記作{x},即{x}=m,設(shè)函數(shù)f(x)=x﹣{x},二次函數(shù)g(x)=ax2+bx,若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則a,b的取值不可能是( )
A.a=﹣4,b=1
B.a=﹣2,b=﹣1
C.a=4,b=﹣1
D.a=5,b=1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且 bcosA=asinB.
(1)求角A的大;
(2)若a=6,△ABC的面積是9 ,求三角形邊b,c的長(zhǎng).
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