Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^ax，g（x）=sinx．
（1）若直線y=f（x）與y=g（x）在x=0處的切線平行，求a，并討論y=f（x）+g（x）在（-1，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若對任意x∈（0，$\frac{π}{2}}$），都有f（${\frac{x}{a}}$）g（x）＞kx，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線，得到a的值，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）記$h（x）=f（{\frac{x}{a}}）g（x）-kx={e^x}sinx-kx$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求出k的具體范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）=e^ax，知f'（x）=ae^ax，
曲線y=f（x）在x=0處的切線斜率為f'（0）=a．
由g（x）=sinx知g'（x）=cosx，曲線y=g（x）在x=0處的切線為g'（0）=1，
因為曲線y=f（x）與y=g（x）在x=0處的切線相互平行，
所以a=1，y'=f'（x）+g'（x）=e^x+cosx，
當(dāng)x=0時，y'=f'（0）+g'（0）=2＞0．
當(dāng)x∈（-1，0）時，e^x∈（0，1），cosx∈（0，1），
從而y'=f'（x）+g'（x）=e^x+cosx＞0；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，e^x∈（0，+∞），cosx∈[-1，1]，
從而y'=f'（x）+g'（x）=e^x+cosx＞0，
故y=f（x）+g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）記$h（x）=f（{\frac{x}{a}}）g（x）-kx={e^x}sinx-kx$，
原問題即求k的取值范圍，
使h（x）＞0對$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$恒成立，
h'（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
又記φ（x）=e^x（sinx+cosx），
則當(dāng)$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$時，φ'（x）=2e^xcosx＞0，
所以φ（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上單調(diào)遞增，
從而$φ（0）＜φ（x）＜φ（{\frac{π}{2}}）$，即$1＜φ（x）＜{e^{\frac{π}{2}}}$．
①若k≤1，則$h'（x）＞0，x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
從而h（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上單調(diào)遞增，
所以h（x）＞h（0）=0．
此時，不等式成立．
②若$k≥{e^{\frac{π}{2}}}$，則$h'（x）＜0，x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
從而h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以h（x）＜h（0）=0．此時，
不等式不恒成立．
③若$1＜k≤{e^{\frac{π}{2}}}$，則存在唯一的${x_0}∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
使得h'（x₀）=0，即${e^{x_0}}（{sin{x_0}+cos{x_0}}）=k$，
$h（{x_0}）={e^{x_0}}sin{x_0}-k{x_0}={e^{x_0}}sin{x_0}-{x_0}{e^{x_0}}（{sin{x_0}+cos{x_0}}）={e^{x_0}}[{sin{x_0}+{x_0}（{sin{x_0}+cos{x_0}}）}]$，
因為${x_0}∈（{0，\frac{π}{2}}）$，所以0＜sinx₀＜x₀且cosx₀＞0，
從而sinx₀-x₀（sinx₀+cosx₀）
＜sinx₀-sinx₀（sinx₀+cosx₀）
=sinx₀[1-（sinx₀+cosx₀）]
=$sin{x_0}[{1-\sqrt{2}sin（{{x_0}+\frac{π}{4}}）}]$，
又因為${x_0}∈（{0，\frac{π}{2}}）$，所以$1＜\sqrt{2}sin（{{x_0}+\frac{π}{4}}）≤\sqrt{2}$，
從而$sin{x_0}[{1-\sqrt{2}sin（{{x_0}+\frac{π}{4}}）}]＜0$，
得sinx₀-x₀（sinx₀+cosx₀）＜0又${e^{x_0}}＞0$，
所以$h（{x_0}）={e^{x_0}}[{sin{x_0}-{x_0}（{sin{x_0}+cos{x_0}}）}]＜0$，
不等式不恒成立．
綜上，當(dāng)且僅當(dāng)k≤1時，對任意$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，都有f（${\frac{x}{a}}$）g（x）＞kx．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．