Question

（2013•樂山一模）已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，且滿足x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），則

2a2+b2-6b+9

ab-3a

的取值范圍是

[2

2

，

11

3

)

．

Answer 1

分析：求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+ax+b的圖象開口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），得a，b的約束條件，據(jù)線性規(guī)劃求出最值．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，
∴x₁，x₂是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+ax+b的兩根
由于導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+ax+b的圖象開口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
∴

b＞0 1+a+b＜0 4+2a+b＞0

滿足條件的約束條件的可行域如圖所示：
令Z=

b-3

a

，則其幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與（0，3）連線的斜率，
∴由

1+a+b=0 4+2a+b=0

，可得a=-3，b=2
∴

b-3

a

∈（

1

3

，3）
∵

2a2+b2-6b+9

ab-3a

=

b-3

a

+2•

1

b-3 a

，
∴

b-3

a

=

2

時(shí)，

2a2+b2-6b+9

ab-3a

的最小值為2

2

，

b-3

a

=3時(shí)，

2a2+b2-6b+9

ab-3a

=

11

3

∴

2a2+b2-6b+9

ab-3a

的取值范圍是[2

2

，

11

3

)，
故答案為：[2

2

，

11

3

)

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及會(huì)進(jìn)行簡單的線性規(guī)劃的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．