Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（2x+1）ln（2x+1）．
（1）求f（x）的極小值；
（2）若x≥0時，都有f（x）≥2ax成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對所給的函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，求出對應(yīng)的x的值，判斷這個點的兩側(cè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號，從而確定函數(shù)的極值．
（2）構(gòu)造新函數(shù)令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax，對函數(shù)求導(dǎo)．對于所求的導(dǎo)函數(shù)的結(jié)果進(jìn)行討論，對于a的不同的值導(dǎo)函數(shù)的符號不一致，分兩種情況進(jìn)行討論，求出a的值．

解答：解：（1）∵f^′（x）=2ln（2x+1）+2，
f^′（x）=0，
∴x=

1

2

(

1

e

-1)
當(dāng)x∈(

1

2

(

1

e

-1)， +∞)，f^′（x）＞0
當(dāng)x∈(-

1

2

，(

1

2

(

1

e

-1))，f^′（x）＜0
∴函數(shù)的極小值是f（

1

2

(

1

e

-1)+=-

1

e

（2）x≥0時，都有f（x）≥2ax成立，
令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax
g^′（x）=2[ln（2x+1）+1-a]=0，x=

1

2

ea-1-1
當(dāng)a≤1，a-1≤0，

1

2

ea-1-1≤0
g^′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在[0，+∞）上單增，
∴g（x）≥g（0）=0成立，對于x≥0時，都有f（x）≥2ax成立，
當(dāng)a＞1時，a-1＞0，

1

2

(ea-1-1)＞0
當(dāng)x∈[0，

1

2

(ea-1-1))，g^′（x）＜0恒成立，
又g（0）=0，∴當(dāng)x∈[0，

1

2

(ea-1-1))時，g（x）≤g（0）=0成立，
即當(dāng)a＞1時，不是所有的x≥0都有f（x）≥2ax，
綜上可知a≤1．

點評：本題看出恒成立問題，本題解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的極值，這是常見的一種題型，是一個綜合題目．