Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+與橢圓C交于A、B兩點，求K的取值范圍；
（3）若以AB為直徑作圓，過點O作圓的切線可作兩條，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，根據(jù)橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為，可求橢圓C的方程；
（2）將直線y=kx+代入橢圓C的方程，可得，根據(jù)直線y=kx+與橢圓C交于A、B兩點，可得，從而可求k的取值范圍．
（3）以AB為直徑作圓，過點O作圓的切線可作兩條，則點O在圓外．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂＞0，利用韋達定理，由此可求k的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，則由題意
∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．
∴，∴，∴
∴橢圓C的方程為；
（2）將直線y=kx+代入橢圓C的方程，可得
∵直線y=kx+與橢圓C交于A、B兩點
∴
∴
∴或；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵，
∴x₁x₂+y₁y₂=
=
==
∴5-3k²＞0
∵
∴
∴或
點評：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是將以AB為直徑作圓，過點O作圓的切線可作兩條，轉(zhuǎn)化為點O在圓外